Statistical mechanics of networks: applications in econophysics

Abstract

Die sukzessive Erforschung und Erkärung von Netzwerkstrukturen hat in den letzten Jahren merklichen Zuwachs durch die theoretische Physik erfahren.<br />Das entsprechende Interesse kann primär darauf zurückgeführt werden, dass Netzwerke unmittelbar eine der essentiellsten Eigenschaften von komplexen Systemen erfassen -- die starken, langreichweitigen Interaktionen zwischen den einzelnen Konstituenten. Darüberhinaus zeigen jüngste empirische Ergebnisse, dass Netzwerke für eine von den Details des zugrundeliegenden Systems unabhängige Analyse der emergenten topologischen Strukturen prädestiniert sind. Da Netzwerke als sich dynamisch arrangierende Konstellationen von Knoten und Verbindungen gesehen werden können, stehen sie auch im unmittelbaren Interesse der statistischen Physik. In der vorliegenden Arbeit werden verschiedene Aspekte der statistisch-physikalischen Behandlung von Netzwerken im Detail untersucht. Es wird gezeigt, dass Netzwerkstrukturen auf drei verschiedenen Ebenen beschrieben und erklärt werden können. Erstens erweist sich die Theorie von Zufallsmatrizen als geeignet um nicht-zufällige Substrukturen aus Netzwerken mit starkem globalen Zufallscharakter zu extrahieren. Eine neue Methode zur Berechnung der Eigenwertspektren von asymmetrischen Matrizen wird auf zeitversetzte Korrelationsmatrizen Brownscher Zufallsbewegungen angewandt. Die theoretischen Resultate erlauben die Analyse von hochfrequenten Finanzzeitreihen und die Extraktion verschiedener nicht-zufälliger Muster, wie kausaler Sektorkorrelationen. Zweitens werden Netzwerke unter Einbeziehung einer Hamiltonfunktion im Rahmen der statistischen Physik des Gleichgewichts behandelt. Dies führt zu Ensembles von Netzwerken deren Topolgie -- je nach Spezifikation der Hamiltonfunktion -- stark von Zufallsstrukturen abweichen kann. Eine spezifische Hamiltonfunktion wird durch die ökonomischen Nützlichkeitstheorie motiviert und es wird gezeigt, dass die entsprechenden Ensemblemittelwerte von topologischen Observablen in der Nähe eines kritischen Punktes sehr gut mit empirischen Befunden komplexer Topologien übereinstimmen. Der kritische Punkt ist durch die Kondensation von Verbindungen an wenigen Knoten ausgezeichnet und das Resultat ist bemerkenswert, da die entsprechenden topologischen Strukturen bis jetzt als typische Nichtgleichgewichtsphänomene betrachtet wurden. Der offensichtliche Umstand dass Netzwerkdynamiken nicht immer im Rahmen der statistischen Physik des Gleichgewichts beschrieben werden können führt schließlich zur dritten Beschreibungsebene -- jener der spezifischen Modellbildung. In diesem Zusammenhang wird das klassische spieltheoretische Modell des Zusammenbruchs von Kooperation ohne äußere Einwirkung -- das Gefangenendilemma -- im Rahmen eines dynamischen Netzwerkes von Spielerbeziehungen formuliert. Neben einem Verständnis des Enstehens von Kooperation führt die vorgeschlagene Formulierung zu einer nicht-trivialen Netzwerkdynamik, die durch eine Bifurkation gekennzeichnet ist und die Emergenz von empirischen Befunden entsprechenden Netzwerkstrukturen, wie komplexer hierarchischer Topologie, bewirkt. Auf Basis der verschiedenen Ergebnisse folgt eine Diskussion der drei Beschreibungsebenen unter einem gemeinsamen Blickpunkt.<br />

The study of networks has experienced a tremendous increase of interest over the past decade. From the physicist's viewpoint much of this interest arises from the fact that networks grasp one of the main essences of complex systems -- the strong, long-range interactions between the individual elements. Recent progress has made clear that networks can be seen as an abstract entity representing these interactions and that their structure can be studied independently from the details of the underlying system. Considering networks as dynamically rearranging sets of nodes and links, statistical physics constitutes an obvious starting point for their study. Although some progress has been made towards this end in recent years, a tremendous potential and need for future progress remains. In this thesis, different aspects of such a statistical mechanics approach towards understanding the structure of networks in nature are investigated. It is demonstrated that the structure of networks can be understood and treated on three different descriptory levels. Firstly, we show that random matrix theory can be used to acquire non-random features of network topologies whose overall structure is close to random.<br />Specifically, a detailed theoretical understanding of the eigenvalue spectrum of asymmetric matrices consisting of lagged correlation-coefficients is developed. The theoretical results are exemplarily applied to the extraction of non-random factors in high-frequency financial data, which leads to the identification of causal sectors and asymmetric lead-lag dependencies. Secondly, a description aiming towards the understanding of real-world networks -- which deviate strongly from the random case -- is developed. Here we describe networks within an equilibrium statistical mechanics framework where the examination of different Hamiltonians leads to different non-random properties in equilibrium. A specific Hamiltonian is motivated by economic utility-theory and it is shown for different ensembles that averages of network properties closely resemble real-world data in the vicinity of a critical point marked by the condensation of links to a single node. This result is particularly remarkable since it shows that it is possible to describe complex features of real-world networks within a rigorous statistical mechanics formulation. Thirdly, since it is obviously clear that it is not always possible to accurately describe network-dynamics within an equilibrium statistical mechanics approach, we rephrase a classical game theoretical model in quest of understanding the emergence of cooperation among rational agents -- the prisoner's dilemma -- in terms of network dynamics. Apart from offering a natural understanding of cooperation, the model exhibits highly non-trivial dynamics leading toa bifurcation in the system's behavior as well as to emergent network structures resembling real-world evidence such as complex and hierarchical topology. A discussion of the three different descriptory levels based on the respective results is given under a unifying viewpoint.