Damping of mechanical vibrations by parametric excitation

Abstract

Das Ziel dieser Dissertation ist es, die Methode der Dämpfung mittels Parametererregung an mechanischen Systemen mit und ohne Selbsterregung zu untersuchen. Aus bisherigen Arbeiten ist bekannt, dass eine zeitlich periodische Steifigkeit eine zusätzliche Dämpfung in ein selbsterregtes System einbringen kann, wenn die Frequenz der Parametererregung in der Umgebung einer Parameterkombinationsfrequenz des ungedämpften Systems liegt -- eine so genannte Parameterantiresonanzfrequenz. Diese Untersuchungen stellen den Ausgangspunkt der Arbeit dar. Die vorliegende Arbeit erweitert die vorgestellte Methode auf unterschiedliche Typen von periodischen Systemparametern und entwickelt einen tiefen Einblick in diese Methode der Schwingungsunterdrückung.<br />Diese Arbeit untersucht mechanische Systeme mit den allgemeinsten linearen Bewegungsgleichungen mit gleichzeitig periodischen Steifigkeiten, Dämpfungen und Trägheiten. Um Dämpfung mittels Parametererregung erreichen zu können, sind zumindest zwei Freiheitsgrade notwendig. Solche Systeme können Punktmassensysteme sein oder zwei Schwingungsmoden einer elastischen Struktur beschreiben.<br />Ausgehend von einer Näherung erster Ordnung, wird eine sorgfältige Stabilitätsanalyse der vorgestellten Methode der Dämpfung mittels Parametererregung für generische Systeme mit zwei Freiheitsgraden durchgeführt. Die analytischen Formeln stellen ein zuverlässiges Werkzeug zur Beschreibung des durch Parametererregung zusätzlich erzeugten Stabilitätsgebietes in der Umgebung einer Antiresonanzfrequenz, als auch des Instabilitätsgebietes aufgrund einer Parametererregung in der Umgebung von Resonanzfrequenzen dar. Diese Arbeit kann als kompaktes Handbuch zur Auslegung einer Vorrichtung zur Schwingungsunterdrückung mittels Parametererregung verwendet werden.<br />Die Ergebnisse in zusammengefasster Form sind: Zeitlich periodische Steifigkeiten können keine zusätzliche Dämpfung im System erzeugen, sondern verstärken die bereits vorhandene Dämpfung. Es wird gezeigt, dass Dämpfung mittels Parametererregung auch auf Systeme ohne Selbsterregung angewendet werden kann. Besondere Aufmerksamkeit wird auf die Symmetrieeigenschaften der Parametererregungsmatrizen und deren Einfluss auf die Lage der Parameterantiresonanzfrequenz gelegt. Die Wechselwirkung zwischen periodischen Steifigkeiten und Dämpfungen wird analysiert und deren Auswirkung auf die Funktion der Schwingungsunterdrückung studiert. Es wird gezeigt, dass eine periodische Trägheitsänderung einer gleichzeitigen Steifigkeits- und Dämpfungsänderung entspricht und somit auch als Hilfsmittel zur Dämpfung von Schwingungen mittels Parametererregung eingesetzt werden können.<br />Die Analyse der Energieflüsse zeigt, dass durch Einsatz einer Parametererregung dem System Energie zugeführt wird, die zu einer effektiveren Dissipation der kinetischen Energie führt. Die Kopplung der Eigenwerte der homogenen Bewegungsgleichung und die maximal erreichbare Dämpfung mittels Parameterregung in einem schwingungsfähigen System werden untersucht. Eine Erweiterung auf Systeme mit mehreren Freiheitsgraden zeigt, dass eine Parametererregung unter bestimmten Bedingungen lediglich zwei Moden des Systems koppelt, während die verbleibenden Moden unbeeinflusst bleiben. Somit kann eine einfrequente Parametererregung nur einen instabilen Mode stabilisieren kann.<br />Es wird eine Optimierung für ein System durchgeführt, in dem alle Steifigkeiten gleichzeitig aber mit unterschiedlichen Amplituden und Phasen veränderlich sind. Für eine begrenzte Gesamtenergie der Parametererregung ist eine Konfiguration mit nur einer maximalen Amplitude optimal. Der Einfluss von zusätzlichen Beschränkungen der Amplituden der Parametererregung wird ebenfalls untersucht. Weiters wird für ein System mit einer einzigen periodischen Steifigkeit gezeigt, dass allein durch die Anpassung der Funktionsform der Paramatererregung die effektive Amplitude der Parametererregung erheblich vergrößert wird, was zu einer effektiveren Schwingungsunterdrückung führt.<br />Die Ergebnisse zeigen, dass der Einsatz einer Parametererregung das Stabilitätsgebiet im Parameterraum der Systemparameter wesentlich erweitert. Der große Vorteil der vorgestellten Steuerung im Vergleich zu einer Regelung ist, dass sobald eine Systemidentifikation durchgeführt wurde, keine Rückführung aus Messungen im Betrieb mehr notwendig ist.<br />Die vorgestellte Methode zeigt ein großes Potential im praktischen Einsatz wo eine Destabilisierung aufgrund einer Selbsterregung auftritt oder um die Dämpfung von schwach gedämpften Systemen zu erhöhen.<br />

The goal of this thesis is to investigate the method of damping vibrations by means of parametric excitation in mechanical systems with and without self-excitation. From previous studies it is known that a time-periodic stiffness coefficient may introduce additionally damping into a self-excited system if the parametric excitation frequency is near to a parametric combination frequency of the undamped system -- a so-called parametric anti-resonance frequency. These works represent the starting point of this thesis. This investigation extends the proposed method to different types of time-periodic coefficients and develops a deeper insight into the method of vibration suppression.<br />This dissertation examines mechanical systems with the most general linear equations of motion with simultaneously varying time-periodic stiffness, damping and inertia coefficients. To achieve damping by parametric excitation, at least two degrees of freedom are necessary.<br />Such systems may be lumped mass systems or may represent two modes of a continuous structure. Based on a perturbation of first order, a thorough stability analysis for the proposed method of damping by parametric excitation is carried out for generic systems with two degrees of freedom. The analytically derived formulae represent a reliable tool to describe the additional stability domain created by parametric excitation near an anti-resonance frequency as well as the instability domain caused by parametric excitation near resonance frequencies. This study can be used as a comprehensive guide for designing a device for vibration suppression by parametric excitation.<br />Summarizing the results, it is shown that time-periodic stiffness coefficients cannot create additional damping in a system, but amplify the existent damping of the system. In particular, it is revealed that damping by parametric excitation can be applied even to systems without self-excitation. Special attention is paid to symmetry properties of the parametric excitation matrices and their influence on the location of the parametric anti-resonance frequencies. The interaction between time-periodic stiffness and damping coefficients is investigated and the effect on the performance of vibration suppression is studied. It is revealed that a time-harmonic inertia variation is equivalent to a simultaneous stiffness and damping variation and that it is capable of being used as a tool for damping vibrations by parametric excitation as well.<br />By examining the energy flows, it is shown that by activating a parametric excitation energy is transferred into the system, which leads to a more effective dissipation of kinetic energy. The coupling of eigenvalues of the homogenous equation and the maximum possible damping achievable by introducing parametric excitation in a vibrating system are explored. An extension to systems with more degrees of freedom shows that under certain conditions a parametric excitation leads to a coupling of just two modes, while the remaining modes are not affected.<br />The important consequence is that a parametric excitation with a single frequency can only stabilize one unstable mode.<br />An optimization is performed for a system where all stiffness coefficients are varied simultaneously, but with different amplitudes and phase angles. For a restricted overall parametric excitation, the optimum is found to be a configuration with just one maximum amplitude.<br />The effect of additional constraints on the design of the amplitudes is investigated, too. Furthermore, for a system with a single time-periodic stiffness coefficient with fixed maximum amplitude it is shown, that only by adjusting the shape of the parametric excitation the effective amplitude of the parametric excitation is enlarged significantly and leads to faster vibration suppression.<br />The results demonstrate that parametric excitation can be employed to extend significantly the area of stability in the parameter space of the system parameters. In comparison to a closed-loop control, the great advantage of the proposed open-loop control is that once a system identification is performed, no feedback from on-line measurements is necessary. The proposed method shows great potential in practical applications when a destabilization due to self-excitation occurs or when the damping of weakly damped systems shall be enhanced.