In der Arbeit wird die Äquivalenz zwischen parabolischen partiellen Differentialgleichungen und der Integration bestimmter Funktionale über dem Wiener Raum aufgezeigt. Dabei werden wir einen Ansatz aus der endlich dimensionalen Theorie, die Kubaturmethode verwenden und dessen Idee auf den Wiener Raum ausdehnen. Im endlich dimensionalen Bereich gibt uns der Satz von Chakalov Auskunft über die Existenz einer Kubaturformel.<br />Anschließend wird die stochastische Taylor Approximation erklärt und dann die Theorie der Lie Algebren, im Zusammenhang mit iterierten Integralen, eingeführt. Die Antwort über den Zusammenhang gibt uns schließlich das Theorem von Chen.<br />Anschließend betrachten wir wahrscheinlichkeitstheortische Methoden um E[f(Y (1; x)] zu approximieren, wobei Y (t; x) als Lösung einer stochastischen Differentialgleichung gegeben ist. Dabei werden die Euler-Maruyama Methode, sowie das Kubaturverfahren mit der Ordnung 3 vorgestellt.<br />Abschließ end wird noch ein neuer Algorithmus von Syoiti Ninomiya and Nicolas Victoir vorgestellt und bewiesen.<br />
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We will show the fact that there is a mathematical equivalence between parabolic partial differential equations and integration of certain functionals on Wiener space. Therefore we will introduce a finite dimensional approach to integration, the cubature method and then extend this idea to Wiener space. The theorem of Chakalov will guarantee the existence of such a formula in nite dimensional spaces. In the next step we will introduce the Stochastic Taylor expansion, and afterwards the theory of free Lie algebra in context with iterated integrals. It is the theorem of Chen,which nally tells us how Lie polynomials and iterated integrals are connected.<br />After this we take a look at probabilistic methods to approximate E[f(Y (1; x)], Y (t; x) given as the solution of a stochastic differential equation.<br />The first method we will present, is the Euler-Maruyama method.<br />Afterwards we will present the cubature on Wiener space of order 3. Finally we will introduce a new algorithm of Syoiti Ninomiya and Nicolas Victoir and give a proof of it.
