Optimal dynamic control with DNSS curves: multiple equilibria in epidemic models of HIV/AIDS and illicit drug use

Abstract

Sogenannte DNSS (Dechert-Nishimura-Sethi-Skiba) Kurven zeigen die Existenz von mehr als einem optimalen Pfad für einen bestimmten Startwert an. In optimalen Kontrollmodellen sind sie von großem Interesse, da diese Kurven ein Schwellenwertverhalten in der Lösung des Modells aufzeigen. In dieser Dissertation werden zwei epidemische Modelle mit mehrfachen langfristigen Gleichgewichtslagen analysiert, deren Einzugsgebiete durch eben solche DNSS Kurven getrennt sind. Das erste Modell beschäftigt sich mit der Ausbreitung von HIV/AIDS. Hier wird ein einfaches, bereits gut dokumentiertes HIV Modell um eine dynamische Kontrolle ergänzt.<br />Zusätzlich werden Verhaltensänderungen mit Prävalenz in das Modell eingearbeitet. Eine steigende Prävalenz in der Population führt zu einer verstärkten Risikowahrnehmung und kann damit zu erhöhter Vorsicht und einem Rückgang von riskanten Kontakten führen. Eine sinkende Prävalenz wiederum kann erhöhtes Risikoverhalten und damit eine steigende Zahl an Neuinfektionen bewirken.<br />Das zweite Modell beschreibt die optimale Kontrolle von Drogenepidemien.<br />Dabei wird konkret angenommen, dass die EntscheidungsträgerInnen, also die GesetzgeberIn bzw. 'policy maker', zwei qualitativ gleichwertigen, interagierenden Drogenproblemen gegenüberstehen. Mögliche Beispiele sind Heroin und Kokain oder Cannabis und Heroin. In der mathematischen Modellierung ist dabei der epidemische Charakter der Ausbreitung des Drogenkonsums essenziell. Beide Epidemien können unabhängig von einander kontrolliert werden, das geschieht mittels Therapie von Konsumenten.<br />Durch Kombination zweier identischer eindimensionaler Modelle konnte ein hochsensibles, zweidimensionales Modell konstruiert werden, das bis zu vier optimale Gleichgewichtslösungen hat. Die Parametrisierung des Modells beschreibt grob die aktuelle Kokainepidemie in den USA. Beide Modelle sind nichtlineare, autonome, optimale Kontrollprobleme mit unendlichem Zeithorizont. Es wird danach getrachtet, die Gesamtkosten einer Epidemie, also Kosten pro Neuinfektion/Konsument plus Kosten der Kontrollinstrumente, zu minimieren. Neben substantiellen Resultaten konnten komplexe Lösungsstrukturen im Bereich multipler langfristiger Gleichgewichte und DNSS-Kurven, die deren Einzugsbereiche separieren, hergeleitet werden.<br />

In this thesis two epidemiological optimal control problems are discussed, both of which reveal multiple optimal steady state solutions.<br /> In the first part we introduce a non-linear, autonomous, infinite time horizon optimal control problem of sexually transmitted HIV/AIDS. The underlying system dynamics is an SI model with constant recruitment rate and varying population size. In contrast to previous epidemiological models the effect of prevalence on incidence is allowed to be twofold.<br />As in classical models the per-susceptible incidence is initially increased by higher prevalence. However, a higher prevalence can lead to an increased awareness of the disease and therewith to an incidence rate that is marginally decreasing or, after reaching a maximum, actually decreasing with prevalence. The decision maker seeks to minimize the discounted stream of the total costs of an HIV epidemic. These consist of both the costs caused by the disease and the monetary costs for the control instrument, which describes the optimal policy of screening out infected individuals for taking them into treatment. The second model analyzed in the thesis describes a situation, where the decision maker is facing two qualitatively similar, interacting drug epidemics. S/he is able to control both epidemics separately by treating users, while seeking to minimize the discounted stream of the total costs incurred. These are the sum of the social costs caused by illicit drug use in the population and the spending on the control instruments.<br />Thus, the model analyzed has two states and two controls and is again a nonlinear, autonomous, infinite time horizon optimal control problem.<br />The model was constructed by combining two identical one-state one-control models to a single two-state two-control model. The one-state one-control problem it is based on, was used for describing the current U.S. cocaine epidemic and is well discussed in literature.<br />Both optimal control problems are solved by applying Pontryagin's Minimum Principle. For certain choices of the parameters, various forms of socalled DNSS (Dechert-Nishimura-Sethi-Skiba) curves occur, which separate the basins of attraction of multiple optimal steady state solutions.