Do entangled states correspond to entangled measurements under local transformations?

Abstract

The entanglement of quantum states is amongst the most studied features of quantum mechanics. It is integral for the majority quantum information protocols and describes a non-classical type of correlation, that links the states of physical systems in a way that is different from our intuitive understanding. Some of the most relevant techniques for quantum technologies such as teleportation, dense coding and entanglement swapping however, depend on the entanglement of joint quantum measurements, which has been seeing much less scientific attention. In general, the established Bell state measurement is used, whose measurement basis consists of the four maximally entangled states. This is the reason why we can consider it as the measurement corresponding to the maximally entangled state. In this thesis we want to address the question whether all entangled states can generally be related to a corresponding iso-entangled measurement in which all measurement basis vectors are local unitary transformations of the original state. In the process of analysing some quantum systems we prove that a corresponding basis exists for every bipartite state with a local dimension of either two, four or eight. Furthermore, we find strong numerical evidence that the same is true for two qutrits and three qubits. Nevertheless, we conjecture that there are quantum states without a basis, since the same numerics cannot find a measurement basis for some four qubit states. More restrictively, we examine whether there exist local unitaries that generate a basis from any state, independently of the specific state. We prove that such a state-independent basis construction does not exist for general quantum states, but we show that it is possible for real valued composite qubit states if and only if the amount of qubits is smaller than four and that it cannot exit for multipartite states with an odd local dimension. Additionally, we give explicit constructions for some specific n-qubit entangled states. The results presented in this thesis suggest that similarly to the entanglement of quantum states, the entanglement of iso-entangled joint measurements show a strong dependence on particle numbers and dimension

Die Verschränkung von Quantenzuständen ist eine der am meisten untersuchten Eigenschaften der Quantenmechanik. Sie ist für den Großteil von Quanteninformationsprotokollen unerlässlich und beschreibt eine nicht-klassische Art der Korrelation, die die Zustände von physikalischen Systemen auf eine Weise verknüpft, die sich von unserem intuitiven Verständnis abhebt. Viele der wichtigsten Techniken für Quantentechnologien wie Teleportation, Dense Coding und Entanglement Swapping beruhen jedoch auf der Verschränkung von Quantenmessungen, die bisher weitaus weniger wissenschaftliche Aufmerksamkeit erfahren hat. Im Allgemeinen wird die etablierte Bell-Zustandsmessung verwendet, deren Messbasis aus den vier maximal verschränkten Zuständen besteht. Aus diesem Grund können wir sie als die Messung betrachten, die dem maximal verschränkten Zustand entspricht. In dieser Arbeit wollen wir der Frage nachgehen, ob sich alle verschränkten Zustände allgemein auf eine entsprechende iso-verschränkte Messung beziehen lassen, bei der alle Messbasisvektoren lokale unitäre Transformationen des ursprünglichen Zustands sind. Bei der Analyse einiger Quantensysteme beweisen wir, dass für jeden zweiseitigen Zustand mit einer lokalen Dimension von entweder zwei, vier oder acht eine entsprechende Basis existiert. Außerdem finden wir starke numerische Hinweise dafür, dass dies auch für zwei Qutrits und drei Qubits gilt. Dennoch stellen wir die Vermutung auf, dass es Quantenzustände ohne Basis gibt, da dieselbe Numerik keine Messbasis für einige Vier-Qubit-Zustände finden kann. Außerdem untersuchen wir restriktiver, ob es lokale unitäre Transformationen gibt, die aus jedem Zustand eine Basis erzeugen können, unabhängig von dem spezifischen Zustand selbst. Wir beweisen, dass eine solche zustandsunabhängige Basiskonstruktion für allgemeine Quantenzustände nicht existiert, aber wir zeigen, dass sie für reellwertige zusammengesetzte Qubit-Zustände genau dann möglich ist, wenn die Anzahl der Qubits kleiner als vier ist, und dass sie für mehrteilige Zustände mit ungerader lokaler Dimension nicht existieren kann. Zusätzlich geben wir explizite Konstruktionen für einige spezifische verschränkte n-Qubit-Zustände an. Die in dieser Arbeit vorgestellten Ergebnisse legen nahe, dass ähnlich wie die Verschränkung von Quantenzuständen auch die Verschränkung von iso-verschränkten Messungen eine starke Abhängigkeit von der Teilchenzahl und der Dimension aufweist.