Title: Berührende windschiefe Regelflächenstücke als Tragstrukturen von Multischichtkonstruktionen
Other Titles: Non-developable ruled surfaces as support structure for multilayer constructions
Language: Deutsch
Authors: Spielbichler, Patrick 
Qualification level: Diploma
Advisor: Müller, Christian 
Issue Date: 2021
Citation: 
Spielbichler, P. (2021). Berührende windschiefe Regelflächenstücke als Tragstrukturen von Multischichtkonstruktionen [Diploma Thesis, Technische Universität Wien]. reposiTUm. https://doi.org/10.34726/hss.2021.90543
Number of Pages: 90
Qualification level: Diploma
Abstract: 
Diese Arbeit beschäftigt sich mit dem algorithmischen Finden spezieller Familien von Regelflächen, wo sich bestimmte Elemente paarweise Berühren und sogar die ''Ableitungen'' dieser Elemente an den Randstücken übereinstimmen. Diese können etwa für künstlerische und architektonische Projekte als Tragstrukturen verwendet werden. Regelflächen eignen sich für solche Strukturen stets sehr gut, da Erzeugende der Regelfläche stets ganz in der Regelfläche enthalten sind und somit mittels geradlinigen Metallträgern einfach verstärkt werden können. Um die Anforderungen an unsere Regelflächenstücke setzen zu können, wird auf die projektive Geometrie zurückgegriffen. Die damit definierbare Klein-Quadrik eignet sich sehr gut, um Regelflächen zu beschreiben. Jeder Punkt dieser Quadrik ist eine Gerade des dreidimensionalen projektiven Raums, womit Erzeugende der Regelfläche stets als Punkte und die Regelfläche als Kurve auf die Klein-Quadrik abgebildet werden können. Insbesondere windschiefe Regelflächen sind für uns von Bedeutung, da die meisten algorithmisch bestimmten Regelflächen windschief sind. Es werden die Begriffe Stern und Sternfeld eingeführt. Ein Stern ist eine Familie von vier Regelflächen, die zyklisch erfüllen, dass die Enderzeugende des Vorgängers und die Starterzeugende des Nachfolgers auf der Klein-Quadrik übereinstimmen, die einzelnen Regelflächen auf der Klein-Quadrik durch sogenannte Bézierkurven (polynomielle Kurven) im Vektorraum der homogenen Koordinaten darstellbar sind und die Ableitungen dieser Kurven am Rand bis zu einer bestimmten Ordnung übereinstimmen. Ein Sternfeld ist nun eine Matrix solcher Sterne, wobei sich benachbarte Sterne an bestimmten Erzeugenden wieder berühren müssen und auch die Ableitungen übereinstimmen sollen. Im Rahmen dieser Masterarbeit wurde ein Algorithmus entwickelt, der für gegebene Erzeugende (die Berührerzeugenden der einzelnen Regelflächenstücke) und einen Polynomgrad (Grad der Bézierkurve) eine Hermite-Interpolation zum Finden eines geeigneten Sternfeldes durchführt. Dafür wurde auch konkret auf die Implementierung in Python eingegangen und auch ein Augenmerk auf Export der Daten gelegt. Die ersten vier Kapitel der Diplomarbeit klären den theoretischen Hintergrund ab. Kapitel 1 beschäftigt sich mit der projektiven Geometrie, insbesondere auch mit Quadriken und ihrer Signatur sowie projektiver Differentialgeometrie, um einen Ableitungsbegriff auf projektiven Räumen einführen zu können. Kapitel 2 führt uns zu den Bézierkurven aus der Computergrafik. In Kapitel 3 wird die Klein-Quadrik eingeführt und in weiterer Folge werden die Abbildungen von Geraden auf Punkte besprochen sowie gewisse Inzidenzeigenschaften abgeleitet. Das vierte Kapitel beschäftigt sich mit Regelflächen und ihrer Unterteilung (torsale und windschiefe Regelflächen) sowie der wichtigen Chasleschen Berührkorrelation. Das Kapitel 5 ist von praktischer Natur. Dort werden die relevanten algorithmischen Überlegungen für das Finden von Sternfeldern behandelt. Außerdem wird eine Aussicht auf Multischichtkonstruktionen in der Praxis gegeben und als Nebenresultat auch die Lie-Quadrik behandelt. Die Lie-Quadrik hilft uns bei der Behandlung von Kugeln und ihren Hüllflächen (Kanalflächen) und es konnten analog Sternfelder von Kanalflächen mit bestimmten Nebenbedingungen gefunden werden. Der Anhang A gilt der Implementierung. Hier wird das Python-Programm zum Finden und Visualisieren von Sternfeldern gezeigt und näher erklärt.

This master thesis aims on finding an algorithm to determine families of ruled surfaces where specific ruled surfaces touch and also have matching ''derivatives'' in their intersection points. Such families of ruled surfaces can be used as carrying structures of architectonical and artistical projects. Ruled surfaces are adequate for such structures as their generators can be represented by straight metal supports. Projective geometry helps us formulating the requirements on our family of ruled surfaces by using the so called Klein quadric. The points of this quadric correspond to the lines of projective 3-space. Therefore a ruled surface as a family of lines is fully contained in the Klein quadric. The theory of ruled surfaces allows the introduction of skew ruled surfaces on which we focus on. We introduce the terms star and star field. A star is a family of four ruled surfaces with extensive properties. They cyclically fulfill that the last generator of the previous ruled surface and the first generator of the next ruled surface need to match on the Klein quadric up to a specified derivation order (mostly 1 or 2). Also each ruled surface needs to be represented by a Bézier curve (polynomial curve of order n) in the Klein quadric. A star field is a matrix of stars where neighbouring stars have to touch and have to have the same first derivative in their intersection point.The main result of this master thesis was an algorithm which finds a star field for a given set of generators (which are the intersection points of stars) and a polynomial degree by applying Hermite interpolation. Essential parts of the source code written in Python as well as data export concerns are also contained in this thesis. Chapter one to four cover the theoretical backgrounds for our implementation. Chapter 1 introduces projective geometry and covers projective quadrics as well as basic projective differential geometry. Chapter 2 contains the main ideas for Bézier curves. Chapter 3 introduces the Klein model and mappings from lines of projective 3-space to points of the Klein quadric as well as incidence properties. Chapter 4 covers ruled surfaces and their classification in torsal and skew ruled surfaces.In Chapter 5 we focus on implementation and applications. It contains remarks on the previously mentioned algorithm for finding star fields. Additionally multi layer construction and a related problem where ruled surfaces are replaced by channel surfaces replacing lines into spheres are discussed. The latter problem needs us to introduce the Lie quadric, a quadric whose points are spheres of 3-space. Appendix A is concerned with implementation. The Python program used for finding star fields is presented and its main features are explained.
Keywords: Liniengeometrie; Windschiefe Regelflächen
line geometry; non-developable ruled surfaces
URI: https://doi.org/10.34726/hss.2021.90543
http://hdl.handle.net/20.500.12708/18890
DOI: 10.34726/hss.2021.90543
Library ID: AC16386217
Organisation: E104 - Institut für Diskrete Mathematik und Geometrie 
Publication Type: Thesis
Hochschulschrift
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