Asymptotics for volatility derivatives in multi-factor rough volatility models

Abstract

This work studies the asymptotics of volatility derivatives in rough stochastic volatility models, in particular the rough Bergomi model. Small-time results for the rough Bergomi model, mixed rough Bergomi model and mixed multi-factor Bergomi model are analysed and presented. The focus is laid on the application of large deviations theory to prove small-time results for the call options on integrated variance, which is an OTC product. Through the call options on integrated variance, it was possible to define and study the implied volatility, especially the volatility smile, which also has data publicly available, so the plausibility of the model can be checked easily. It is shown here, that the integrated variance of the rough Bergomi model (as well as mixed rough Bergomi and mixed multi-factor rough Bergomi) satisfies the large deviations principle, which allows for a computation of its rate function. Furthermore, a representation of the implied volatility through the rate function is developed, which allows its numerical computation.The numerical implementation is done by calculating the rate function through solving an optimisation problem and using these results to calculate theimplied volatility. The simulation results show consistency with the implied volatility of the CBOE volatility index (VIX), both demonstrating linear behaviour with small maturities around the money.

In dieser Arbeit wird die Asymptotik von Volatilitätsderivaten in Rough-Volatility-Modellen, insbesondere dem Rough-Bergomi-Modell, untersucht. Ergebnisse für kurze Restlaufzeiten (”small-time“) für das Rough-Bergomi-Modell, das Mixed-Rough-Bergomi-Modell und das Mixed-Multi-Factor-Rough-Bergomi-Modell werden analysiert und präsentiert. Der Schwerpunkt liegt auf der Anwendung der Large Deviations Theory zum Nachweis der Ergebnisse für Call-Optionen der integrierten Varianz für kurze Zeiten. Hierbei handelt es sich um ein OTC-Produkt. Durch die Call-Optionen der integrierten Varianz ist es möglich, die implizite Volatilität zu definieren und zu untersuchen, insbesondere das Volatility-Smile, dessen Daten auch öffentlich verfügbar sind, wodurch die Plausibilität des Modells einfach überprüft werden kann. Es wird gezeigt, dass die integrierte Varianz des Rough-Bergomi-Modells (sowie des Mixed-Rough-Bergomi- und des Mixed-Multi-Factor-Rough-Bergomi-Modells) das Large Deviations Principle (LDP) erfüllt, wodurch eine Berechnung seiner Ratenfunktion ermöglicht wird. Weiters wird gezeigt, wie sich die implizite Volatilität durch die Ratenfunktiondarstellen lässt, wodurch ihre numerische Berechnung ermöglicht wird. Bei der numerischen Implementierung wird die Ratenfunktion durch Lösung eines Optimierungsproblems berechnet und diese Ergebnisse werden zur Berechnung der impliziten Volatilität verwendet. Die Simulationsergebnisse bilden das Verhalten der impliziten Volatilität des CBOE-Volatilitätsindex (VIX) ab, wobei beide linear mit kleinen Laufzeiten around-the-money sind.