Semigroup topologies on endomorphism monoids of omega-categorical structures

Abstract

Endomorphismenmonoide von omega-kategorischen Strukturen bilden durch Kombination einer Halbgruppe (Verknüpfungsoperation) mit einer Polnischen Topologie (die Topologie der punktweisen Konvergenz, definiert durch Auswertung bei Elementen der Grundmenge) reichhaltige algebraisch-topologische Objekte, die die zusätzliche Kompatibilitätseigenschaft aufweisen, dass die Operation bezüglich der Topologie stetig ist. Diese Dissertation beschäftigt sich mit der folgenden Frage: Wieviel Information über die Topologie der punktweisen Konvergenz kann aus der algebraischen Halbgruppenstruktur rekonstruiert werden? Genauer fragen wir, in welcher Hinsicht eine beliebige Topologie (von der wir möglicherweise zusätzliche rein topologische Eigenschaften annehmen), für die die Verknüpfungsoperation stetig ist, der Topologie der punktweisen Konvergenz ähneln muss. Für die erste Stufe an Rekonstruktion betrachten wir eine andere natürliche Topologie auf Endomorphismenmonoiden, nämlich die sogenannte Zariski-Topologie, die innerhalb des Monoids durch (Nicht-)Lösungen von Gleichungen definiert wird. Für alle Endomorphismenmonoide omega-kategorischer Strukturen, für die die Zariski-Topologie bisher konkret analysiert wurde, hat sich gezeigt, dass sie mit der Topologie der punktweisen Konvergenz übereinstimmt. In Hinblick auf unsere zentrale Frage liefert dies die Rekonstruktionsaussage, dass auf diesen Endomorphismenmonoiden jede Hausdorffsche Halbgruppentopologie automatisch feiner sein muss als die Topologie der punktweisen Konvergenz. Wir geben zwei systematische, aus dem modellvollständigen Kern (englisch: model-complete core) der zugrundeliegenden Struktur abgeleitete Bedingungen an, unter denen die beiden Topologien stets übereinstimmen. Außerdem geben wir ein Beispiel einer omega-kategorischen Struktur an, sodass sich die beiden Topologien auf ihrem Endomorphismenmonoid unterscheiden. Für verschiedenste Endomorphismenmonoide omega-kategorischer Strukturen gilt sogar eine höhere Stufe an Rekonstruktion: Manchmal stellt sich die Topologie der punktweisen Konvergenz nämlich als einzige Polnische Halbgruppentopologie heraus – anders formuliert kann die Topologie eindeutig aus der Halbgruppenstruktur rekonstruiert werden, wenn man sich auf Polnische Topologien einschränkt. Dieses Problem war für das Endomorphismenmonoid der rationalen Zahlen mit der schwachen Ordnung (also für die Halbgruppe der wachsenden Funktionen auf den rationalen Zahlen) noch ungelöst. Wir entwickeln neue Techniken, um zu zeigen, dass die Topologie der punktweisen Konvergenz die einzige Polnische Halbgruppentopologie auf diesem Monoid ist, und beweisen außerdem, wieso die bisherigen Methoden nicht zur Lösung geeignet waren. Abschließend beschäftigen wir uns mit der Klasse der abzählbar unendlichen homogenen Graphen und analysieren, welche von ihnen ein Endomorphismenmonoid haben, auf dem die Topologie der punktweisen Konvergenz die einzige Polnische Halbgruppentopologie ist. Wir lösen dieses Problem für alle bisher unbehandelten homogenen Graphen mit einer einzigen Ausnahme, für die wir partielle Ergebnisse zeigen.

Endomorphism monoids of omega-categorical structures are rich algebraic-topological objects, joining a semigroup (given by the composition operation) with a Polish topology (the topology of pointwise convergence defined via the evaluation at elements of the domain), with the additional compatibility property that the operation is continuous with respect to the topology. This thesis centers around the following question: How much information about the topology of pointwise convergence can be reconstructed from the algebraic semigroup structure? More precisely, we ask in which aspects an arbitrary topology (potentially with some additional purely topological properties) for which the composition operation shall be continuous needs to resemble the topology of pointwise convergence. For the first level of reconstruction, we consider another natural topology on endomorphism monoids, namely the so-called Zariski topology induced within the monoid by (non-)solutions to equations. For all concrete endomorphism monoids of omega-categorical structures on which the Zariski topology has been analysed thus far, it was shown to coincide with the topology of pointwise convergence. Regarding our central question, this yields that any Hausdorff semigroup topology on those endomorphism monoids can be reconstructed to be finer than the topology of pointwise convergence. We establish two systematic reasons for the two topologies to agree, formulated in terms of the model-complete core of the structure, as well as give an example of an omega-categorical structure on whose endomorphism monoid the topology of pointwise convergence and the Zariski topology differ. For various endomorphism monoids of omega-categorical structures, an even higher level of reconstruction is attained: the topology of pointwise convergence sometimes turns out to be the unique Polish semigroup topology – in other words, the topology can be uniquely reconstructed from the semigroup structure if we restrict to Polish topologies. This problem was unsolved for the endomorphism monoid of the rational numbers with the non-strict order (so the semigroup of increasing maps on the rational numbers). We develop new techniques to prove that the topology of pointwise convergence is indeed the only Polish topology turning this semigroup into a topological one, and show why previous methods are insufficient for this matter. Finally, we consider the class of countably infinite homogeneous graphs and analyse which of these have endomorphism monoids such that the topology of pointwise convergence is the unique Polish semigroup topology. We solve this problem for all previously untreated homogeneous graphs, with a single exception for which we provide partial results.