Analytic and numerical study of a cross-diffusion model for Ion transport

Abstract

Der Transport von Ionen durch biologische Kanäle kann auf makroskopischer Ebene durch partielle Differentialgleichungen für die Evolution der Ionenkonzentrationen beschrieben werden. Bezieht man bei der Modellierung Füllungseffekte mit ein, die durch den beschränkten Raum in den engen Ionenkanälen hervorgerufen werden, so führt dies zu Kreuzdiffusionstermen in den Gleichungen. Das resultierende Modell für die Ionenkonzentrationen besteht aus einem stark gekoppelten System nichtlinearer parabolischer Diffusionsgleichungen, die zusätzlich einen Driftterm beinhalten. Dieser Term verhält sich proportional zum Gradienten des elektrischen Potentials, welches über eine Poisson-Gleichung mit den Ionenkonzentrationen gekoppelt ist. Das Ziel dieser Arbeit ist die mathematische Analyse des vorliegenden Modells, sowie die Entwicklung zuverlässiger numerischer Verfahren für die approximative Lösung der Gleichungen.

The transport of ions through biological channels, on a macroscopic level, can be described with a system of partial differential equations (PDEs) for the evolution of the ion concentrations. If one considers additional size exclusion effects, occurring in narrow pores, cross-diffusion terms appear in the system. The ion concentrations then solve strongly coupled diffusion equations with a drift term involving the electric potential which is coupled to the concentrations through a Poisson equation. The aim of this thesis is to close gaps in the analysis of this cross-diffusion model and provide reliable numerical approximations that capture the behavior of its solutions.