Bayessche optimale Investitions- und Rückversicherungsstrategien mit negativ korrelierten Finanz- und Versicherungsrisiken

Abstract

In der vorliegenden Arbeit wird eine Investitions- und Rückversicherungsstrategie gesucht, die den erwarteten Nutzen des Vermögens eines Versicherungs-unternehmens maximieren soll. Dabei wird die Annahme getroffen, dass eine Abhängigkeit zwischen dem Finanz- und dem Versicherungsmarkt zu Krisenzeiten existiert. In dieser Arbeit wird ein Korrelationskoeffizient verwendet und eine negative Korrelation explizit zugelassen. Außerdem gehen wir davon aus, dass die Verteilung der Schadenhöhen unbekannt ist und es sich darum um ein Optimierungsproblem mit partieller Information handelt, das mit Hilfe des Bayes’schen Ansatzes zu einem Optimierungsproblem mit vollständiger Information reduziert werden kann. Um eine Lösung des vorliegenden Optimierungsproblems zu finden, lösen wir die verallgemeinerte Hamilton-Jacobi-Bellman-Gleichung und gewinnen dadurch Kandidaten für eine optimale Strategie. Die vorgestellte Methode wird durch numerische Beispiele mitexponential- und gammaverteilten Schadenhöhen, sowie mit positiven und negativen Korrelationskoeffizienten verdeutlicht.

The goal in this paper is to find an investment and reinsurance strategy, that maximizes the expected utility of an insurer’s capital. The assumption is made that there is a dependency between the financial and insurance market in times of crisis. A correlation coefficient is introduced and a negative correlation is explicitly allowed. In addition, we assume that the claim size distribution is unknown. This is therefore an optimization problem with partial information, which will be reduced to an optimization problem with complete information using the Bayesian approach. In order to find a solution to the optimization problem,we apply the generalized Hamilton-Jacobi-Bellman approach and obtain candidates for an optimal strategy. The method is illustrated by numerical examples for exponential and gamma distributed claim sizes, positive and negative correlations.