Simulation of the Swirling Flow of Two Immiscible Fluids in a Cylindrical Container

Abstract

In this work, steady, axially symmetric flow is investigated in a vertical cylinder with a rotating lid containing two immiscible liquids of different densities. The flow of both fluids is described by the Navier-Stokes equations, the interface conditions and the boundary conditions. Since the position of the interface depends on the flow, it is a free boundary value problem. All occurring variables are related to suitable reference values and the equations are formulated in dimensionless form. In addition to the Reynolds number, theFroude number and Weber number as well as the density and viscosity ratio of the two liquids as well as the height-radius ratio of both liquid layers. In the limit case of a small height-radius ratio, the self-similar flow between two infinitely rotating disks is obtained.The Navier-Stokes equations and boundary conditions are discretized using a spectral collocation method with Chebyshev polynomials. The resulting equations for the function values at the support points are solved using a solver for nonlinear systems of equations from the NAG program library.The numerical method is tested on the case of a liquid and the solutions are compared with published solutions. First, self-similar solutions are discussed, then the case of flow in a container in the limit Fr=0, flat interface, is treated.The influence of all dimensionless key figures on the flow or the shape of the interface is then analyzed. It turns out that the Reynolds number has the greatest influence on the flow pattern. The Froude number has the greatest influence on the interface shape. The Weber number has rather little influence on the interface shape. For further stability analysis of the interface, shear stress and the velocity of the fluids at the interface are essential.

In dieser Arbeit wird die stationäre, axialsymmetrische Strömung in einem vertikalen Zylinder mit rotierendem Deckel untersucht, der zwei nicht mischbare Flüssigkeiten unterschiedlicher Dichte enthält. Die Strömung beider Flüssigkeiten wird durch die Navier-Stokes-Gleichungen, die Grenzflächenbedingungen und die Randbedingungen beschrieben. Da die Lage der Grenzfläche von der Strömung abhängt, handelt es sich um ein freies Randwertproblem.Alle auftretenden Größen werden auf geeignete Referenzwerte bezogen und die Gleichungen in dimensionsloser Form formuliert. Zusätzlich zur Reynolds-Zahl ist die Froude-Zahl und Weber-Zahl sowie das Dichte- und Viskositätsverhältnis der beiden Flüssigkeiten sowie das Höhen-Radius-Verhältnis beider Flüssigkeitsschichten.Im Grenzfall eines kleinen Höhen-Radius-Verhältnisses erhält man die selbstähnliche Strömung zwischen zwei unendlich rotierenden Scheiben.Die Navier-Stokes-Gleichungen und die Randbedingungen werden mithilfe einer spektralen Kollokationsmethode mit Tschebyschow-Polynomen diskretisiert. Die resultierenden Gleichungen für die Funktionswerte an den Stützpunkten werden mit einem Löser für nichtlineare Gleichungssysteme aus der NAG -Programmbibliothek gelöst. Das numerische Verfahren wird am Fall einer Flüssigkeit getestet und die Lösungen mit veröffentlichten Lösungen verglichen. Zunächst werden selbstähnliche Lösungen diskutiert, dann wird der Fall der Strömung in einem Behälter im Grenzfall Fr=0, ebene Grenzfläche, behandelt. Dann wird der Einfluss aller dimensionslosen Kennzahlen auf die Strömung bzw. die Form der Grenzfläche analysiert. Es zeigt sich, dass die Reynolds-Zahl den größten Einfluss auf das Strömungsmuster hat. Die Froude-Zahl hat den größten Einfluss auf die Grenzflächenform. Die Weber-Zahl hat eher geringen Einfluss auf die Grenzflächenform. Für eine weitere Stabiltätsanalyse der Grenzfläche, sind Scherspannung und die Geschwindigkeit der Flüssigkeiten an der Grenzfläche von wesentlicher Bedeutung.