Rigid-foldable quad meshes with control polylines : Interactive design and motion simulation

Abstract

Generic discrete surfaces composed of quadrilateral plates connected by rotational joints in the combinatorics of a square grid are rigid, but there also exist special ones with 1-parametric flexibility. This dissertation focuses on two particular classes of so-called T-hedra (trapezoidal quad surfaces) and V-hedra (discrete Voss surfaces). T-hedra can be thought of as a generalization of discrete surfaces of revolution in such a way that the axis of rotation is not fixed at one point but rather sweeping a polyline path on the base plane. Moreover, the action does not need to be a pure rotation but can be combined with an axial dilatation. After applying these transformations to the breakpoints of a certain discrete profile curve, a flexible quad-surface with planar trapezoidal faces is obtained. Therefore, the design space of T-hedra also includes as subclasses discretized translational surfaces and moulding surfaces beside the already mentioned rotation surfaces. V-hedra are the discrete counterpart of Voss surfaces which carry conjugate nets of geodesics. In discrete case the opposite interior angles of a vertex star are equal. From a V-hedral vertex one can always generate an anti-V-hedral vertex with the same kinematics, in which the sum of corresponding opposite angles equal to 180 degrees and therefore is a known case of valence four flat-foldable and developable origami vertex. The author developed Rhino/Grasshopper plugins, implemented with C-sharp, which make the design space of T-hedra, V-hedra and anti-V-hedra accessible for designers and engineers. The main components enable the user to design these quad surfaces interactively and visualize their deformation in real time based on a recursive parametrization of the quad-mesh vertices under the associated isometric deformation. Furthermore, this research investigates semi-discrete T-hedral surfaces and other topologies, such as tubular structures composed of T-hedra.

Diskrete Flächen bestehend aus viereckigen Panelen, die durch Drehgelenke verbunden sind in der Kombinatorik eines Quadratrasters, sind im Allgemeinen starr; jedoch existieren auch Ausnahmen mit einer einparametrischen Flexibilität. Diese Dissertation konzentriert sich auf zwei spezielle Flächenklassen, nämlich sogenannte T-Flache (trapezförmige Vierecksflächen) und V-Flache (diskrete Voss'sche Flächen). T-Flache können als Verallgemeinerung diskreter Rotationsflächen betrachtet werden, wobei die Drehachse nicht fix bleibt, sondern deren Spurpunkt in der Basisebene einen Polygonzug durchläuft. Darüber hinaus kann die Rotation mit einer axialen Streckung kombiniert werden. Durch die Anwendung dieser Transformationen auf die Ecken einer bestimmten diskreten Profilkurve wird eine flexible Vierecksfläche mit planaren trapezförmigen Flächen erzeugt. Daher umfasst der Designraum der T-Flache auch diskretisierte Translationsflächen sowie Gesimsflächen als Unterklassen neben den bereits erwähnten Rotationsflächen. V-Flache sind das diskrete Pendant der Voss'schen Flächen, welche ein konjugiertes geodätisches Kurvennetz besitzen. Im diskreten Fall sind die gegenüberliegenden Winkel in einer Ecke jeweils gleich. Aus einer V-Flach'schen Ecke kann man immer einen Anti-V-Flach'sche Ecke mit derselben Kinematik generieren, bei dem die Summe der entsprechenden entgegengesetzten Winkel gleich 180 Grad ist und daher einen bekannten Fall einer flach faltbaren sowie abwickelbaren Origami Ecke mit Valenz 4 darstellt. Der Autor entwickelte Rhino/Grasshopper-Plugins, implementiert mit C-Sharp, die den Designraum von T-Flachen, V-Flachen sowie Anti-V-Flachen für Designer und Ingenieure zugänglich machen. Die Hauptkomponenten ermöglichen es dem Benutzer, diese Vierecksflächen interaktiv zu entwerfen und ihre Verformung in Echtzeit zu visualisieren basierend auf einer rekursiven Parametrisierung der Eckpunkte unter der zugehörigen isometrischen Deformation. Darüber hinaus wurden im Rahmen dieser Forschung auch semi-diskrete T-Flache und andere Topologien untersucht, wie zum Beispiel tubulare Strukturen, die aus T-Flachen zusammengesetzt sind.