Rotation invariant diagrammatic bases for invariant spaces

Abstract

In dieser kumulativen Dissertation präsentieren wir kombinatorische Ansätze, um grafische Beschreibungen von Basen der invarianten Unterräume von Tensor Produkten von Darstellungen von Lie Gruppen zu erhalten. Dazu verwenden wir Chord-Diagramme. Das sind Graphen, deren Knoten im Kreis angeordnet werden und die Tensorpositionen der Invarianten kodieren. Diese Arbeit besteht aus drei Publikationen, welche in internationalen Journalen erschienen sind: In "Skew characters and cyclic sieving" bestimmen wir, welche Charaktere der symmetrischen Gruppe eine Permutationsdarstellung der zyklischen Gruppe trägt. Diese Resultate können wir auf die Darstellungstheorie von Tensorpotenzen der adjungierten Darstellung der allgemeinen linearen Gruppe anwenden. Dadurch können wir die Existenz einer Bijektion zwischen Permutationen und alternierenden Tableaux (nach Stembridge) beweisen, welche Rotation der Diagramme/Permutationen in Promotion der Tableaux überführt. Dieses Resultat zeigt nur die Existenz der Bijektion, aber liefert keine explizite Konstruktion. Wir denken, dass es möglich ist, dieses Resultat zu verfeinern und haben als ersten Schritt eine der wichtigsten Identitäten aus dem Beweis verallgemeinert. In "A refinement of the Murnaghan-Nakayama rule by descents for border strip tableaux" erweitern wir diese Identität zu standard Young Tableaux, die eine gegebene Anzahl von Abstiegen haben. Dazu führen wir eine neue Statistik auf Border-Strip Tableaux ein, die die klassische Definition von Abstiegen auf standard Young Tableaux erweitert. In "Promotion and growth diagrams for fans of Dyck paths and vacillating tableaux" erläutern wir einen neuen Ansatz, um explizite diagrammatische Basen direkt vom Promotionsorbit von Tableaux zu erhalten. Wir verwenden diese Konstruktion, um eine Injektion von $r$-Fächern von Dyck Pfaden (resp. Vacillating tableaux) der Länge $n$ nach Chord-Diagrammen auf $[n]$ erhalten. Dadurch bekommen wir Diagramme, die eine Basis für die Spindarstellung der Spingruppe, beziehungsweise für die Vektordarstellung der speziellen orthogonalen Gruppe, indizieren.

In this cumulative dissertation we present combinatorial approaches to obtain pictorial descriptions of bases of invariant spaces of tensor products of representations of Lie groups in terms of certain graphs, which we call chord diagrams. These are graphs whose vertices, arranged in a circle, correspond to the tensor positions of the invariant. This thesis consists of three publications, which appeared in peer reviewed journals: In "Skew characters and cyclic sieving" we determine which characters of the symmetric group carry a permutation representation of the cyclic group. We apply our results to the invariant theory of tensor powers of the adjoint representation of the general linear group and prove the existence of a bijection between permutations and J. Stembridge's alternating tableaux, which intertwines rotation and promotion, yielding a diagrammatic basis. This is only an existential result and no explicit construction. In the hope of finding this bijection we refine one of the key identities in "A refinement of the Murnaghan-Nakayama rule by descents for border strip tableaux". We extend it to standard Young tableaux and border strip tableaux with a given number of descents. To do so, we introduce a new statistic for border strip tableaux, extending the classical definition of descents in standard Young tableaux. In "Promotion and growth diagrams for fans of Dyck paths and vacillating tableaux" we discuss a new approach to construct a diagrammatic basis from the promotion orbit of tableaux. In particular we construct an injection from the set of $r$-fans of Dyck paths (resp. vacillating tableaux) of length $n$ into the set of chord diagrams on $[n]$. This way we obtain suitable diagrams for the spin representation of the spin group and the vector representation of the special orthogonal group.