Complex Lp-intersection bodies

Abstract

Das Hauptaugenmerk der Arbeit liegt auf der Erweiterung der dualen Brunn-Minkowski Theorie in komplexen Vektorräumen auf die Lp-Theorie. Eine neue Familie von geometrischen Operatoren, die komplexen Lp-Schnittkörper, werden eingeführt. Sie sind inspiriert durch die Konstruktion der komplexen Projektionskörper. Wir zeigen, dass sie, ähnlich zu ihrem reellen Gegenstück, eine zwischen den komplexen Schwerpunktskörpern und komplexen Schnittkörpern interpolierende Familie darstellen. Außerdem untersuchen wir geometrische Eigenschaften, wie (Pseudo-)Konvexität und isoperimetrische Ungleichungen. Wir widmen uns auch Fragen im Stile des Busemann–Petty Problems für den komplexen Projektionen- und Lp-Schnittkörper. Nachdem wir den Zusammenhang zu der sphärischen Fourier-Transformation hergestellt haben, können wir die Fragestellung einheitlich behandeln.

The main focus of this thesis lies on the extension of the dual Brunn-Minkowski theory on complex vector spaces to the Lp-setting. A new family of geometric operators, the complex Lp-intersection body operators, is introduced which is motivated by the construction of complex projection bodies. It is shown that, similar to their real counterparts, they interpolate between the recently introduced intersection and centroid body operators on complex vector spaces. Moreover, geometric properties like (pseudo-)convexity as well as isoperimetric inequalities for them are examined. Secondly, Busemann–Petty type problems for complex projection and Lp-intersection body operators are considered. After linking the spherical Fourier transform to the considered operators, one obtains a unified procedure to tackle these problems.