The adjoint gradient method for time-optimal control of multibody systems

Abstract

Die Theorie der optimalen Steuerung wird in vielen Bereichen der Naturwissenschaften eingesetzt,um zeitliche Abläufe von Systemen zu optimieren und Trajektorien zu planen. Zur Auffindung von optimalen Steuerungen wird eine Zielfunktion, unter Berücksichtigung von Nebenbedingungen,minimiert oder maximiert. Die Zielfunktion beschreibt dabei z. B.: die Abweichung zu einer Solltrajektorie,den Energieverbrauch eines Systems oder die benötigte Zeit eines Ablaufs.Im Rahmen dieser Arbeit wird letztere Zielfunktion betrachtet, um die zeitoptimale Trajektoriefür dynamische Systeme zu berechnen. Zeitoptimale Problemstellungen treten z. B. in der Fahrzeugmechanik,bei der Bestimmung der minimalen Rundenzeit einer Rennstrecke auf, oder in derRobotik, wenn die Bahnkurve eines Roboters so gestaltet werden soll, dass die Zeit für ein Punktzu-Punkt Manöver minimiert wird.Bisher wurden solche Aufgabenstellungen weitgehend als Zwei-Punkt Randwertprobleme untersucht,die schwer zu lösen sind, und eine Startlösung nahe der optimalen Lösung erfordern. DasZiel dieser Arbeit besteht nun darin, eine iterative, gradientenbasierte Lösungsstrategie zu entwickeln,die auf komplexe Mehrkörpersysteme angewendet werden kann. Die Beschreibung derSysteme erfolgt in einem ersten Schritt mit gewönlichen Differentialgleichungen und wird dannauf differential-algebraische Gleichungen erweitert. Für die Berechnung des Gradienten, d. h. dieVariation des Steuersignals, die die größte lokale Reduktion der Endzeit verursacht, wird die sogenannteadjungierte Methode herangezogen.Die adjungierte Methode bietet dabei eine effiziente Möglichkeit, um den Gradienten eines Kostenfunktionalshinsichtlich des Steuersignals zu berechnen. Die Grundidee dafür, ist die Einführungzusätzlicher adjungierter Variablen, die durch eine Reihe von adjungierten Differentialgleichungenbestimmt werden, aus denen der Gradient berechnet werden kann.Dabei ist es Ziel dieser Arbeit, die klassische adjungierte Gradientenberechnung für zeitoptimale Problemstellungen in der Mehrkörperdynamik zu formulieren, und zu zeigen, dass damit zeitoptimaleProblemstellungen in der Dynamik effizient berechnet werden können.Die in dieser Arbeit vorgestellten Methoden bieten einen robusten Alternativweg zur Lösung deszugrundeliegenden Randwertproblems, und ermöglichen es, ausgehend von einer Initialsteuerung,iterativ die zeitoptimale Lösung von Systemen zu berechnen.

The theory of optimal control is used in many areas of natural science to optimize time sequences and to plan trajectories. Thereby the control of a system is searched, which minimizes or maximizes a desired objective function, under consideration of constraints. The objective function describes, for example, the deviation from a target trajectory, the energy consumption of a system or the operation period of a process. In the context of this work, the latter objective function is considered in order to compute the time-optimal trajectory for dynamic systems. Time-optimal control problems arise, for example, in vehicle mechanics, when determining the minimum lap time on a race track, or in robotics, when the trajectory of a robot has to be designed in order to minimize the time required for a point-to-point maneuver. So far, such tasks have been widely studied as two-point boundary value problems, which are difficult to solve, and require an initial guess close to the optimal solution. However, the goal of this work is to develop an iterative gradient-based solution strategy that can be applied to complex multibody systems. The gradient, i. e., the variation of a control signal that results in the largest local change of the final time, is computed using the so-called adjoint method. The adjoint method provides an efficient way to compute the gradient of a cost functional with respect to the control signal. The key idea is to introduce adjoint variables that are governed by a set of adjoint differential equations from which the gradient can then be computed in a straight forward way. The goal of this work is to formulate the classical adjoint gradient approach for time-optimal control problems in multibody dynamics and to show how this method can be efficiently used to solve time-optimal control problems arising from modern engineering science. The methods in this work provide a robust way to solve the underlying boundary value problem and enable the iterative computation of time-optimal solutions in multibody system dynamics.