Selected generalizations in stochastic analysis

Abstract

Diese Masterarbeit stellt ausgewählte Verallgemeinerungen bekannter Theoreme im Gebiet der stochastischen Analysis vor. So soll das Verständnis zur stochastischen Analysis vertieft werden und die Grenzen der einzelnen Sätze aufgezeigt werden. Ein besonderer Schwerpunkt liegt auf stochastische Differentialgleichungen unter Lipschitz-Stetigkeit. Diese stochastischen Differentialgleichungen spielen eine wesentliche Rolle in der Finanz- und Versicherungsmathematik und werden dort zur Modellierung von stochastischen Prozessen verwendet. Die präsentierten Methoden erlauben es, allgemeinere Modelle zu definieren. Die Arbeit beginnt damit, die Konvergenzsätze von Doob für stetige lokale Martingale auf stochastischen Intervallen zu verallgemeinern. Während diese Sätze traditionell für Prozesse auf deterministischen Indexmengen formuliert sind, werden Prozesse auf stochastischen Intervallen relevant, wenn man stochastische Differentialgleichungen unter lokaler Lipschitz-Stetigkeit studiert. Anschließend zeigen wir die Existenz von starken Lösungen für matrixwertige stochastische Differentialgleichungen unter Lipschitz-Stetigkeit. Typischerweise werden vor allem stochastische Differentialgleichungen untersucht, die von einer Brown’schen Bewegung mit deterministischen Drift getrieben sind. In dieser Arbeit erweitern wir den Beweis der Existenz und Eindeutigkeit starker Lösungen für stochastische Differentialgleichungen, die von beliebige stetigen Semimartingalen getrieben werden. Dabei erlauben wir auch weitere Verallgemeinerungen, wie lokale Lipschitz-Stetigkeit, Pfadabhängigkeit oder vordefinierter Zustandsraum der Lösung. Im anschließenden Abschnitt wird eine hilfreiche Integraldarstellung für stetige lokale Martingale mit absolut stetigen Kovariationsprozessen vorgestellt. Wir erweitern die Lévy-Charakterisierung – die üblicher Weise für Brown’sche Bewegung präsentiert wird – auf die Klasse der stetigen Gauß’schen Martingale. Ferner studieren wir die Fluktuationen stetiger lokaler Martingale unter Verwendung einer allgemeinen Version des Satzes von Dambis, Dubins und Schwarz. Anschließend wird gezeigt, dass die Novikov-Bedingung innerhalb der Klasse der stetigen Gauß’schen Martingale äquivalent ist, sowie eine verallgemeinerte Beneš-Bedingung präsentiert.

This master’s thesis presents selected generalizations of well-known theorems in the field of stochastic analysis. The aim is to deepen the understanding and to explore the limitations of individual theorems. A key focus is placed on the existence of strong solutions for stochastic differential equations under Lipschitz continuity. These stochastic differential equations play a crucial role in financial and actuarial mathematics and are used to model stochastic processes in those fields. The methods presented allow for the definition of more general models. The work begins by generalizing Doob’s convergence theorems to continuous local martingales on stochastic intervals. While these theorems are traditionally formulated for processes on deterministic index sets, considering processes on stochastic intervals becomes relevant when studying stochastic differential equations under local Lipschitz continuity. Next, we demonstrate the existence of strong solutions for matrix-valued stochastic differential equations under Lipschitz continuity. Typically, stochastic differential equations driven by Brownian motion with deterministic drift are studied. In this work, we extend the proof of existence and uniqueness of strong solutions to stochastic differential equations driven by arbitrary continuous semimartingales. Additionally, we allow further generalizations, such as local Lipschitz continuity, path dependency or a predefined state space of the solution. In the subsequent section, a useful integral representation for continuous local martingales with absolutely continuous covariation processes is introduced. We extend Lévy’s characterization, usually presented for Brownian motion, to the class of continuous Gaussian martingales. Furthermore, we study the fluctuations of continuous local martingales using a generalized version of the Dambis–Dubins–Schwarz theorem. It is then shown that Novikov’s criterion is equivalent within the class of continuous Gaussian martingales, and an extended Beneš criterion is presented.