Large deviations and stochastic volterra equations

Abstract

Die vorliegende Arbeit besteht aus drei Teilen, die Resultate der Large Deviations Theory benutzen. In den letzten beiden Teilen spielen auch stochastische Volterra Integralgleichungen eine wichtige Rolle. Diese sind essenziell, wenn man in klassischen stochastischen Volatilitätsmodellen einen fraktionellen Kern in die Gleichung für die Instantaneous Variance einführen möchte, um eine "rough" Version dieses Modells zu erzeugen. Large deviations werden oft benutzt, um in einer Vielzahl von Situation asymptotische Resultate herzuleiten. Diese Resultate sind besonders in der Finanzmathematik gefragt, sei es um finanzmathematische Größen, wie etwa Optionspreise, Implied Volatility, etc., qualitativ zu beurteilen oder auch z.B. für Fast Calibration Schemes. -- Kapitel 1, "Preliminaries and some well-known results", präsentiert einige aus der Literatur bekannte Resultate, die wir im weiteren auch verwenden werden. Auch die für diese Arbeit relevanten Definitionen und Resultate aus der Large Deviations Theory werden hier überblicksmäßig gezeigt. -- Kapitel 2, "Large deviations related to the law of the iterated logarithm for Ito diffusions", basiert auf einem Paper zusammen mit Stefan Gerhold, das im Journal "Electronic Communications in Probability" publiziert wurde. In diesem Teil der Arbeit zeigen wir ein Large Deviations Principle für das Supremum einer skalierten Ito Diffusion. Skaliert man eine Brownsche Bewegung wie beim Gesetz des iterierten Logarithmus, dann konvergiert das Supremum davon gegen Eins wenn die Zeit gegen Null geht. Upper Large Deviations dieses Prozesses bekommt man, indem man das Problem via Trefferzeiten einer stetigen Kurve formuliert und dann Resultate für Trefferzeiten von Strassen (1967) anwendet. Wir erweitern das ganze zu einem small-time Large Deviations Principle für das Supremum einer skalierten Ito Diffusion, wobei die Hauptreferenz ein Resultat von Lerche (1986) ist, das auf Strassens Resultat aufbaut. -- Kaptiel 3, "Large deviations for fractional volatility models with non-Gaussian volatility driver", basiert auf einem Paper gemeinsam mit Stefan Gerhold und Archil Gulisashvili, das im Journal "Stochastic Processes and their Applications" publiziert wurde. In diesem Kapitel betrachten wir "non-Gaussian fractional stochastic volatility models". Die Volatilität in solch einem Modell besteht aus einer positiven Funktion mit einem stochastischen Prozess als Argument. Dieser wird erzeugt durch eine fraktionelle Transformation der Lösung einer stochastischen Differentialgleichung, wobei die Yamada-Watanabe-Bedingung erfüllt sein muss. Derartige Modelle sind Verallgemeinerungen der fractional Version des Heston Modells aus Bäuerle und Desmettre (2020). Wir zeigen pfadweise Large Deviations und small-noise Large Deviations für den Log-Preis in einem solchen non-Gaussian Modell. Weiters zeigen wir in einem sehr vereinfachten Beispiel, wie man die Taylor Entwicklung zweiter Ordnung für die Rate Function dieser Large Deviations Principles berechnen könnte. -- Kapitel 4, "Rough 3/2 -- A truncated ansatz", ist eine gemeinsame Arbeit mit Stefan Gerhold, die noch nicht publiziert wurde. In diesem Teil der Arbeit wird eine "rough" Variante des bekannten nicht-affinen 3/2-Modells vorgeschlagen. Die Koeffizienten(funktionen) der zugrundeliegenden stochastischen Volterra Gleichung (SVE) werden in geeigneter Weise abgeschnitten, um die Existenz einer Lösung zu sichern. Es wird gezeigt, dass unser Modell die Voraussetzungen von Zhang (2010) erfüllt. Dennoch werden die notwendigen Abschätzungen für den Existenzbeweis ausführlich gezeigt, um sie einfach nachvollziehbar zu machen. Mithilfe von Jacquier und Pannier (2020) bekommen wir, nachdem alle Voraussetzungen gezeigt wurden, pfadweise small-noise und small-time Large Deviations für die Instantaneous Variance und den Log-Preis Prozess. Für einen Teil davon bekommen wir dann auch Moderate Deviations Principles. Am Ende dieses Teils der Arbeit werden noch ein paar Anwendungsbeispiele gebracht, wie etwa Asymptotiken für Implied Volatility und Optionspreise auf Realized Variance. Weiters wird ein Implementierungsvorschlag mittels eines naiven Euler Schemes zur Simulation der Pfade präsentiert.

This thesis consists of three parts, all of which are related to large deviations theory. In the second and third part, stochastic Volterra integral equations play an important role. Stochastic Volterra equations are essential when it comes to rough volatility models, because a natural way of introducing roughness in a (classic) stochastic volatility model is to add a fractional (weakly singular) kernel to the integrand coefficient functions of an ordinary Ito diffusion. Large deviations results help, in a variety of situations, to establish asymptotic results. These can be used to develop asymptotic results for all kind of objects in the area of Financial Mathematics. These results can e.g. be used for investigating the qualitative behavior of these objects in a special situation or to develop fast calibration schemes. -- Chapter 1, "Preliminaries and some well-known results", presents some results from the literature and introduces notions and results from large deviations theory. -- Chapter 2, "Large deviations related to the law of the iterated logarithm for Ito diffusions", is based on paper that was joint work with Stefan Gerhold, published in the journal "Electronic Communications in Probability". This work is a pure mathematics topic and does not provide applications in Finance. In this chapter, we establish a large deviations principle for the supremum of a scaled Ito diffusion. When a Brownian motion is scaled according to the law of the iterated logarithm, its supremum converges to one as time tends to zero. Upper large deviations of the supremum process can be quantified by writing the problem in terms of hitting times and applying a result of Strassen (1967) on hitting time densities. We extend this to a small-time large deviations principle for the supremum of scaled Ito diffusions, using as our main tool a refinement of Strassen's result due to Lerche (1986). -- Chapter 3, "Large deviations for fractional volatility models with non-Gaussian volatility driver", is based on a paper that was joint work with Stefan Gerhold and Archil Gulisashvili, published in the journal "Stochastic Processes and their Applications". In this chapter, we study non-Gaussian fractional stochastic volatility models. The volatility in such a model is described by a positive function of a stochastic process that is a fractional transform of the solution to an SDE satisfying the Yamada-Watanabe condition. Such models are generalizations of a fractional version of the Heston model considered in Bäuerle and Desmettre (2020). We establish sample path small-noise large deviation principles for the log-price process in a non-Gaussian model. We also illustrate how to compute the second order Taylor expansion of the rate function, in a simplified example. -- Chapter 4, "Rough 3/2 -- A truncated ansatz", is based on a joint working paper with Stefan Gerhold. In this chapter, we come up with a rough variant of the well-known 3/2 model. The coefficient functions of the underlying stochastic Volterra integral equation (SVE) are truncated in an appropriate manner to ensure existence of the solution. The computations for showing existence according to Zhang (2010) are shown in detail such that they can easily be followed. With the help of Jacquier and Pannier (2020) we establish sample path small-noise and small-time large deviations for the instantaneous variance and the log-price process. For some of these we also get moderate deviation principles. Then, we present some applications of these large deviations results. Also a simple implementation using a naive Euler approach for the simulation of sample paths is given at the end of this chapter.