Diskrete ebene Netze mit eingeschriebenen Kegelschnitten

Abstract

In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit der Konstruktion und Visualisierung von diskreten ebenen Netzen mit eingeschriebenen Kegelschnitten. Die eingeschriebenen Kegelschnitte sind nicht-degenerierte Kegelschnitte und berühren jede der vier Kanten der Facette genau einmal. Jede Facette enthält sogar eine Familie von eingeschriebenen Kegelschnitten. Berühren sich alle benachbarten eingeschriebenen Kegelschnitte eines Netzes, das heißt, jeder Kegelschnitt berührt seinen benachbarten Kegelschnitt in genau einem Berühr-punkt, so handelt es sich um ein Koenigsnetz. Deren Gestalt kann beispielsweise durch ein Geradengitter erzeugt werden, dessen Geraden tangential zu einem Kegelschnitt liegen. Wir untersuchen auch sogenannte Schleifennetze, welche wie bei einem klassischen Spinnennetz aus teils geschlossenen Polygonzügen bestehen. Während die nicht-degenerierten Kegelschnitte (Ellipse, Parabel und Hyperbel) effizient in der reellen projektiven Ebene betrachtet und berechnet werden können, wird für eine adäquate Behandlung von Kreisen die projektive Ebene komplex erweitert. Durch Identifizierung von der reellen Ebene mit den komplexen Zahlen können wir Kreismuster auch auf der komplexen projektiven Gerade und der dazu isomorphen Riemannschen Sphäre betrachten. Orthogonale Kreismuster und Kreispackungen lassen sich durch geeignete Wahl der Polygonzüge ebenfalls als Netze mit eingeschriebenen Kegelschnitten interpretieren. Die ebenen Kreismuster können wir mittels stereographischer Projektion auf die Riemannsche Sphäre projizieren. Umgekehrt ist jede polyedrische zellenförmige Zerlegung der Sphäre in die Ebene projizierbar. Diese Zerlegung bildet einen Polyeder dessen Facetten eingeschriebene Kreise enthalten, welche in der Ebene ein Netz mit eingeschriebenen Kreisen bildet. Demnach haben wir sogar ein Netz mit eingeschriebenen Kreisen auf der Sphäre in der projektiven komplexen Ebene.

In this thesis we construct and visualize the so-called discrete planar nets with inscribed conics. The nets are made of planar polygons as faces (mostly quadrilaterals). The inscribed conics are non-degenerated conics and have to touch the edges of the corresponding face in exactly one point. If the whole set of inscribed conics are touching each other, meaning each conic touches each neighbouring conic in exactly one point, then we speak of a Koenigs net. There are several ways to construct such a net, for example, it can be generated by using a line grid, where each line is tangent to a conic. Additionally, we consider loops of inscribed conics which can also create nets that look like spiderwebs. The non-degenerated conics ellipse, parabola and hyperbola can be efficiently studied and calculated in the real projective plane. In contrast, using again projective geometry circles are determined in terms of complex numbers. We can identify the real plane with the comples numbers and therefore we can consider the circle patterns on the complex projective line. Orthogonal circle patterns and circle packings with an appropriate choice of polygon chains are reinterpretable as nets with inscribed circles, the so-called incircular nets. Incircular nets on the plane can be projected by stereographic projection onto the Riemann sphere, which is isomorphic to the complex projective line. Thus, we also obtain a circle pattern on the sphere. Vice-versa every polytopal cellular decomposition of the sphere with inscribed circles can be mapped onto a pattern of circles in the plane. We have now two incircular nets: one on the sphere and its projected picture in the plane.