Acoustic modelling of MEMS loudspeakers via FEM including viscous effects

Abstract

Die Ausbreitung von Schallwellen in einem Medium kann durch die akustische Wellengleichung beschrieben werden, jedoch nur unter der Voraussetzung, dass viskose und thermische Effekte vernachlässigbar klein sind. Obwohl diese Annahme in vielen Fällen zulässig ist, gibt es auch Anwendungen, bei denen solche Effekte signifikanten Einfluss haben. Ein Beispiel dafür sind MEMS (Mikro-Elektro-Mechanische Systeme) Lautsprecher, deren Dimensionen sich oft im Mikrometerbereich befinden. Aufgrund der geringen Größe sind thermoviskose Effekte, die hauptsächlich an den Rändern auftreten, nicht mehr vernachlässigbar klein. Eine Möglichkeit, diese zu berücksichtigen, ist die Verwendung der linearisierten Navier-Stokes Gleichungen zur Beschreibung der Luftdomänen. Ein Nachteil dieser Formulierung ist die hohe Anzahl an Unbekannten (Temperatur, Druck, Partikelgeschwindigkeit in allen Raumrichtungen) verglichen mit der Wellengleichung (Druck), was eine numerische Approximation der Lösung aufwändiger macht. Da im Zuge der Entwicklung von MEMS-Lautsprechern üblicherweise eine hohe Zahl an Simulationen durchgeführt wird, ist es vorteilhaft, den Berechnungsaufwand möglichst gering zu halten. Diese Arbeit hat das Ziel, das Finite Elemente Modell eines MEMS-Lautsprechers in einem vorgegebenen Frequenzbereich so zu optimieren, dass der Berechnungsaufwand minimiert wird, während der Approximationsfehler gering bleibt. Dieses Modell beschreibt einen Lautsprecher mit piezoelektrisch-harmonisch angeregter Membran, welches sowohl durch akustische Messungen, als auch Messungen der Membranbewegung validiert wird. Es wird eine Parameterstudie durchgeführt, die sowohl die nötige Größe der viskoakustischen Domäne, als auch die Elementgröße und -verteilung innerhalb dieser untersucht. Weiters werden die minimale Größe der restlichen akustischen Domäne und die nötige Dicke der darauffolgenden PML (perfectly matched layer) bestimmt. Der aus den Parametervariationen resultierende Fehler, sowie der Vorteil, der durch jede Variation gewonnen wird (weniger Freiheitsgrade bzw. geringere Rechenzeit), führen schließlich zu einem optimalen Parameterwert und in weiterer Folge auf ein optimales Set von Parametern. Dieses wird als Ergebnis präsentiert.

Acoustic wave propagation is generally described by the acoustic wave equation. This is valid for a wide range of cases, where thermal and viscous effects can be neglected due to their lack of influence on the solution (pressure-acoustics). However, when describing the acoustic behavior of small devices, such as MEMS (Micro-Electro-Mechanical Systems) loudspeakers, the inviscid, adiabatic formulation becomes inaccurate and thermoviscous effects need to be considered (thermoviscous acoustics). The full linearized Navier Stokes equations can then be used to describe the airflow in small geometries, such as gaps and cavities. For numerical simulations, this poses a challenge, since the number of unknowns in the 3d-case increases from 1 (pressure) to 5 (pressure, temperature, velocity in each spacial direction), which results in a drastic increase in computation time. In addition to that, high temperature and velocity gradients arise near walls (boundary layers), which need to be resolved using an especially fine mesh in these regions. In the framework of MEMS speaker development, usually many simulations are conducted, so a short computation time is critical. This thesis focuses on minimizing computational effort for a harmonic, multi-physical finite element analysis of a piezoelectrically-driven MEMS loudspeaker in a given frequency range. A model for a single-actuator design is developed, which is then validated by acoustic measurements and measurements of the actuator displacement. A parameter study is conducted to determine the minimal domain size for thermoviscous acoustics and optimal size and distribution of elements inside this domain. Further decrease of computation time can be achieved by minimizing the domain sizes and number of elements in the pressure acoustics domain and the surrounding PML (perfectly matched layer). For each parameter variation, the error development is shown and the best parameter value is determined considering the gained advantage in terms of computational effort. An optimal set of parameters is presented as a result.