Singularity distance computations of parallel manipulators of Stewart-Gough type

Abstract

In this cumulative PhD dissertation, we address the problems related to singularity distance computations for the Stewart-Gough type parallel robots, primarily focusing on theoretical analysis and computational algorithms. Under the term parallel manipulators of the Stewart-Gough type, we summarize mechanisms, where the moving platform is connected to the base by a certain number of prismatic (P) legs according to the robot's degree of freedom. For planar mechanisms, the legs are anchored by passive revolute (R) joints, and for spatial ones by passive spherical (S) joints. In so-called singular (also known as shaky) configurations these manipulators gain at least one instantaneous degree of freedom. Therefore, minor variations in the manipulator geometry (e.g. backlash in passive joints or uncertainties in the actuation of the P joints) can significantly affect the realized configuration. Near singular configurations, forces in prismatic actuators can become excessively large, potentially leading to the breakdown of the mechanism. Therefore, singular configurations and their vicinity should be avoided. In this context, we consider 3-RPR manipulators and present a comparison of singular distances with respect to extrinsic and intrinsic metrics along a 1-parametric motion. Note that different metrics can be used depending on the chosen interpretations of the platform/base; e.g. as a triangular plate or as a pin-jointed triangular bar structure. There also exist so-called architecture singularities referring to robot designs, which are shaky in every configuration. These designs have to be avoided but also their vicinity, as every anchor point can be associated with a space of uncertainties (e.g. tolerances in the passive joints or deviations of the platform/base from the geometric model). In this context, we consider linear pentapods (5-SPS manipulators with a linear platform) and present an approach to measure the distance of a given design from being architectural singular. For both kinds of singularities, the distances are computed as the global minima of optimization problems. Their critical points are found through a generic computational pipeline that relies on algorithms from symbolic and numerical algebraic geometry implemented in Maple, Bertini, and Paramotopy. Note that we do not only obtain the singularity distance but also the corresponding closest singular configuration and architecture singularity, respectively.

In dieser kumulativen Dissertation befassen wir uns mit den Problemen im Zusammenhang mit der Berechnung der Singularitätsdistanz für parallele Roboter vom Typ Stewart-Gough, wobei wir uns in erster Linie auf die theoretische Analyse und die Berechnungsalgorithmen konzentrieren. Unter dem Begriff Parallelmanipulatoren des Stewart-Gough-Typs fassen wir Mechanismen zusammen, bei denen die bewegte Plattform über eine bestimmte Anzahl prismatischer (P) Beine entsprechend dem Freiheitsgrad des Roboters mit der Basis verbunden ist. Bei planaren Mechanismen sind die Beine durch passive Drehgelenke (R) verankert, bei räumlichen Mechanismen durch passive Kugelgelenke (S). In sogenannten singulären (auch als wackelig bezeichneten) Konfigurationen erhalten diese Manipulatoren mindestens einen momentanen Freiheitsgrad. Daher können geringfügige Abweichungen in der Manipulatorgeometrie (z.B. Spiel in passiven Gelenken oder Ungenauigkeiten bei der Betätigung der P-Gelenke) die realisierte Konfiguration erheblich beeinflussen. In der Nähe singulärer Konfigurationen können die Kräfte in prismatischen Aktuatoren zu groß werden, was zum Versagen des Mechanismus führen kann. Daher sollten singuläre Konfigurationen und deren Umgebung vermieden werden. In diesem Zusammenhang betrachten wir 3-RPR-Manipulatoren und präsentieren einen Vergleich der singulären Abstände in Bezug auf extrinsische und intrinsische Metriken entlang einer 1-parametrischen Bewegung. Man beachte, dass verschiedene Metriken verwendet werden können, je nach der gewählten Interpretationen der Plattform/Basis, z. B. als dreieckige Platte oder als gelenkig verbundene dreieckige Stabstruktur. Es gibt auch sogenannte Architektonische-Singularitäten, die sich auf Roboterdesigns beziehen, die in jeder Konfiguration wackelig sind. Diese Konstruktionen müssen vermieden werden, aber auch ihre Umgebung, da jeder Ankerpunkt mit einem Raum von Ungenauigkeiten verbunden sein kann (z.B. Toleranzen in den passiven Gelenken oder Abweichungen der Plattform/Basis vom geometrischen Modell). In diesem Zusammenhang betrachten wir lineare Pentapoden und präsentieren einen Ansatz zur Messung des Abstands eines gegebenen Designs von der architektonischen Singularität. Für beide Arten von Singularitäten werden die Abstände als globale Minima von Optimierungsproblemen berechnet. Ihre kritischen Punkte werden durch eine generische Berechnungspipeline gefunden, die sich auf Algorithmen der symbolischen und numerischen algebraischen Geometrie stützt, die in Maple, Bertini und Paramotopy implementiert sind. Es sei bemeht, dass wir nicht nur die Singularitätsdistanz, sondern auch die entsprechende nächstgelegene singuläre Konfiguration bzw. Architektursingularität erhalten.