Numerical techniques in modern TCAD

Abstract

Modeling and simulation are a crucial aid for reducing development cycle time and costs in modern semiconductor technology. New modeling concepts increasingly require long-term research performed in an interdisciplinary manner, and new numerical methods and algorithms are needed to implement these concepts.<br />The manifold of physical phenomena inherent in manufacturing processes and the complex electromagnetics phenomena of interconnect structures require a large diversity of mathematical formulations.<br />In this thesis I consider the numerical methods for solving the partial differential equations (PDEs) appearing in advanced diffusion and interconnect reliability models.<br />Starting from the general finite element method I present discretization and linearization methods for non-linear PDE equation systems.<br />Since the finite element method closely depends on the properties of the underlying mesh and used time step control strategy, their connections are investigated and solutions are proposed.<br />All discussed algorithms are eligible for the simulation in arbitrary three-dimensional domains. The capabilities of the presented numerical schemes are presented by simulation examples which at the same time motivate the three-dimensional approach. That is the case for the diffusion simulation in the presence of surface reactions and boundary conditions defined on explicit three-dimensional interfaces. The surface dynamics of the point defects has a strong impact on their overall behavior thus retarding or enhancing diffusion of dopants and determining the junction formation. The material transport induced by electromigration and accompanying driving forces is, due to the structure and composition of modern interconnect layouts, a three-dimensional phenomenon. The barrier layers, applied in the contemporary interconnect copper based technology, determine the material flux and promote or prevent electromigration. Three-dimensional mechanical stress distribution, having its source in thermal mismatch between layout materials or local vacancy dynamics, plays a significant role too.<br />Apart from the simplistic and restrictive design rules, advanced, physically based simulation of electromigration phenomena, gives the opportunity to bring the ``driving forces'' to work, thus enhancing the reliability of the given interconnect structure. A special focus of this thesis is the careful derivation and analysis of the numerical schemes for the PDEs describing relevant physical phenomena and determining appropriate mesh and time step controlling rules. In this work complex diffusion models are handled by using advanced, finite element based, numerical methods. Algorithms for solving of these diffusion models are constructed and implemented in a software tool FEDO (Finite Element Diffusion and Oxidation Simulator).<br />The applied discretization and linearizations schemes are well mathematically founded. Interface reactions are modeled with the contemporary models which are integrated in the simulator in a rigorous way. Three-dimensional simulations have been performed for several diffusion process steps relevant for the processing of state-of-the-art semiconductor devices. The simulation results demonstrate the physical plausibility of the applied models and numerical methods as well as the necessity of three-dimensional simulations. In this thesis I discuss different models and approaches dealing with electromigration reliability problems in modern interconnect layouts.<br />Generally, a two stage approach for the electromigration simulation is adopted.<br />The physics of the time period until the void nucleation is modeled as dynamic bulk vacancy phenomena and subsequent void evolution as void/metal interface material transport phenomenon.<br />The numerical schemes to handle of the governing equations are presented together with appropriate mesh adaptation schemes. The predictive capability of the considered models is demonstrated by simulations which are carried out on different realistic interconnect structures.

Modellierung und Simulation ermöglichen eine Verkürzung der Entwicklungszeiten und eine Reduktion der Kosten in der modernen Halbleitertechnologie.<br />Neue Modellierungskonzepte benötigen eine längerfristige interdisziplinäre Forschung und neue numerische Methoden fr die Implementierung dieser Konzepte.<br />Die Mannigfaltigkeit von physikalischen Phänomenen in Herstellungsprozessen und die Komplexität von elektromagnetischen Phänomenen benötigen eine Vielfalt an mathematischen Formulierungen.<br />In dieser Arbeit betrachte ich die numerischen Methoden für die Lösung von partiellen Differentialgleichungen, die in fortgeschrittenen Diffusion- und Verfügbarkeitsmodellen auftreten.<br />Ausgehend von der allgemeinen Finite Elemente Methode präsentiere ich Diskretisierungs- und Linearisierungsmethoden für solche Systeme von Differentialgleichungen.<br />Wegen der stark ausgeprägten Abhängigkeit der Finite Elemente Methode von den Eigenschaften der verwendeten Gitter sowie der gewählten Zeitschrittsteuerung werden die Zusammenhänge untersucht und Lösungen vorgeschlagen.<br />Alle vorgestellten und diskutierten Algorithmen sind für die Simulationen von beliebigen dreidimensionalen Gebieten geeignet.<br />Das Leistungsvermögen der präsentierten Algorithmen wird an Hand von Simulationsbeispielen veranschaulicht, die grundsätzlich einen dreidimensionalen Ansatz benötigen.<br />Die Notwendigkeit von dreidimensionalen Simulationen wird auch für den Fall von Rand- und Grenzflächenbedingungen in dreidimensionalen Gebieten demonstriert.<br />Die Oberflächendynamik von Punktdeffekten beeinflusst wesentlich das Gesamtverhalten der Diffusion von Dopanden. Auf diese Weise wird die Dopandendiffusion gefördert oder gebremst und somit die Form der Sperrschichtfläche bestimmt. Der Materialtransport, der durch Elektromigration und begleitende Antriebskräfte hervorgerufen wird, ist auf Grund der Ausführung moderner Leiterbahnen ein dreidimensionales Phänomen.<br />Die Barrieren, die in den heutigen kupferbasierten Leiterbahntechnologien benötigt werden, begünstigen oder unterdrücken diesen Materialtransport. Die dreidimensionale Verteilung von mechanischen Spanungen, die durch die thermische Unausgeglichenheit oder lokale Vakanzendynamik entsteht, übt zusätzlich einen nicht zu vernachlässigenden Einfluss aus. Im Unterschied zu den einfachen und einschränkenden Leiterbahnentwurfregeln, unterstützt eine fortgeschrittene und physikalisch basierte Elektromigrationssimulation die Möglichkeit der Optimierung des Leiterbahnentwurfs. Damit können die Elektromigrationskräfte kontrolliert und auch die Haltbarkeit von Leiterbahnstrukturen erhöht werden.<br />Einer der Schwerpunkte dieser Arbeit ist die sorgfältige Herleitung und Analyse des numerischen Schemas für die partielle Differentialgleichungen, die für die Beschreibung der physikalischen Phänomene verwendet werden, sowie die optimal Bestimmung der Gitterpunkte in Zusammenhang mit der Zeitschrittsteuerung. Diese Arbeit behandelt komplexe Diffusionsmodelle unter Zuhilfenahme von Finite Elemente basierten numerischen Methoden.<br />Die Algorithmen für die Lösung dieser Diffusionsmodelle wurden entworfen und sind in das Computerprogramm FEDOS (Finite Element Diffusion and Oxidation Simulator) implementiert.<br />Die verwendeten Diskretisierungs- und Linearisierungsschemata beruhen auf einem soliden mathematischen Fundament.<br />Für die Schnittstellenreaktionen werden aktuelle physikalische Modelle verwendet, die vollständig in die Gesamtsimulation integriert sind.<br />Die dreidimensionele Simulationen wichtiger Herstellungsprozesschritte für die moderne Halbleiterbauelementetechnologie sind durchgeführt.<br />Die Simulationsergebnisse demonstrieren die physikalische Plausibilität der verwendeten Modelle und numerischen Methoden sowie die Notwendigkeit einer dreidimensionalen Simulation. In dieser Arbeit diskutiere ich verschiedene Modelle und Ansätze zur Handhabung des Problems der Elektromigration in modernen Leiterbahnstrukturen.<br />Allgemein wird ein zweistufiger Simulationsansatz für die Elektromigrationssimulation verwendet.<br />Die Physik bis zum Zeitpunkt von Hohlraumkeimbildung wird auf der Basis der Leerstellendynamik und darauffolgender Hohlraumentwicklung als Hohlraum/Metall Schnittstelle Materialtransportphänomen modelliert. Die numerischen Schemata für die Handhabung von Modellgleichungen werden zusammen mit entsprechenden Gitterkontrollmechanismen präsentiert.<br />Die Prognosefähigkeit der verwendeten Modelle wird mittels Simulationen demonstriert, die an unterschiedlichen realistischen Leiterbahnstrukturen durchgeführt werden.<br />