Geometric multigrid method with hp-robust contraction

Abstract

Im Kontext numerischer Methoden für symmetrische lineare elliptische PDEs ermöglicht die adaptive Finite-Elemente-Methode (AFEM) eine effiziente Diskretisierung des Problems, was zu optimalen Konvergenzraten in Bezug auf die Größe des Finite-Elemente-Raums führt. Um jedoch auch optimale Konvergenzraten in Bezug auf den Gesamtrechenaufwand zu erreichen, ist ein iteratives Verfahren erforderlich, das zur Lösung der auftretenden diskreten Probleme eingesetzt wird. In dieser Arbeit betrachten wir ein geometrisches Mehrgitterverfahren als iterativen Löser für AFEM, dessen Kontraktion pro Schritt unabhängig von den Ebenen der inhärenten Netzhierarchie und dem Polynomgrad p der FEM-Basisfunktionen ist. Obwohl er hp-robust ist, hängt der Kontraktionsfaktor von dem globalen Diffusionskontrast der gegebenen PDE ab. Ziel dieser Arbeit ist es, die Abhängigkeit des Kontraktionsfaktors so zu verbessern, dass er nur noch vom lokalen Kontrast des Diffusionskoeffizienten abhängt. Zuerst wird die Analyse des Mehrgitterlösers von [Innerberger, Miraçi, Praetorius, Streitberger; ESAIM Math. Model. Numer. Anal. 58 (2024)] untersucht und festgestellt, dass die wichtigsten Werkzeuge für den Nachweis der hp-robusten Kontraktion des Lösers eine hp-robuste stabile Zerlegung und eine verschärfte Cauchy-Schwarz-Ungleichung sind. Beide Ergebnisse sind für die H^1-Seminorm formuliert, die eine Abhängigkeit vom globalen Diffusionskontrast einführt. Daher konzentrieren wir uns auf die Ableitung analoger Ergebnisse für die diffusionsgewichtete Energienorm, die sich aus der schwachen Formulierung der PDE ergibt. Die größte Herausforderung besteht darin, eine h-robuste stabile Zerlegung in diesem neuen Rahmen zu beweisen. Um dies zu erreichen, werden zusätzliche Konzepte wie das sogenannte K-Funktional, gewichtete L^2-Normen und Fortsetzungsoperatoren für Sobolev-Räume eingeführt. Unter Verwendung dieser Werkzeuge sowie durch Anpassung der Analyse der p-robusten stabilen Zerlegung im zweidimensionalen Fall können wir nachweisen, dass der Kontraktionsfaktor tatsächlich (zusätzlich zur hp-Robustheit) nur lokal vom Diffusionskontrast abhängig ist. Schließlich werden die theoretischen Erkenntnisse durch entsprechende numerische Experimente validiert.

In the context of numerical methods for symmetric linear elliptic PDEs, the adaptive finite element method (AFEM) enables an efficient discretization of the problem, leading to optimal convergence rates with respect to the size of the finite element space. However, to achieve optimal convergence rates with respect to the total computational cost, an iterative method is required to solve the arising discrete problems. In this work, we consider a geometric multigrid method as an iterative solver for AFEM, whose contraction per step is independent of the number of levels in the inherent mesh hierarchy and the polynomial degree p of the FEM basis functions. Though it is hp-robust, the contraction factor depends on the global diffusion-contrast of the inherent PDE. This thesis aims to improve the dependence of the contraction factor so that it depends only on the local contrast of the diffusion coefficient. First, the analysis of the multigrid solver of [Innerberger, Miraçi, Praetorius, Streitberger; ESAIM Math. Model. Numer. Anal. 58 (2024)] is examined, establishing that the key ingredients for proving hp-robust contraction of the solver are an hp-robust stable decomposition and a strengthened Cauchy--Schwarz inequality. Both results are formulated for the H^1-seminorm, which leads to the dependence on the global diffusion-contrast. Therefore, we focus on deriving analogous results for the diffusion-weighted energy norm arising from the weak formulation of the PDE. The main challenge lies in proving an h-robust stable decomposition in this new setting. To address this, additional concepts such as the so-called K-functional, weighted L^2-norms, and extension operators for Sobolev spaces are introduced. Using these tools as well as adapting the analysis of the p-robust stable decomposition in the two-dimensional case, we are able to prove, that, indeed, the contraction factor is (in addition to hp-robust) only locally dependent on the diffusion-contrast. Finally, the theoretical findings are validated through appropriate numerical experiments.