Advanced conditional risk measurement and risk aggregation with applications to credit and life insurance

Abstract

Der erste Teil dieser Dissertation beschäftigt sich mit einer sorgfältigen Analyse verschiedener bedingter Risikomaße. Diese sind eine Verallgemeinerung von klassischen Risikomaßen, wie etwa Value at Risk oder expected Shortfall, und können als Basis für dynamisches Risikomanagement verwendet werden. Basierend auf bedingten unteren Quantilen definieren wir Distortion-Risikomaße mittels einer pfadweisen Lebesgue-Stieltjes-Darstellung und geben eine umfangreiche Liste bedingter Eigenschaften an. Bedingter expected Shortfall mit stochastischem Niveau tritt dann als Spezialfall von Distortion-Risikomaßen auf, wobei wir auch eine Definition mit expliziter Dichte und angepasster Indikatorfunktion geben. Letztere Darstellung basiert auf einer verallgemeinerten Definition des bedingten Erwartungswertes mit sigma-integrierbaren Zufallsvariablen. Wir beweisen zusätzliche Eigenschaften und geben weitere alternative Darstellungen für bedingten expected Shortfall. Als dynamisches Risikomaß betrachtet, gilt vor allem die Supermartingaleigenschaft sowie wachsendes Risiko für Submartingale. Gewichteter bedingter expected Shortfall, welcher beta- und alpha-Value-at-Risk miteinschließt, ergibt sich als Spezialfall von bedingten Distortion-Risikomaßen. Darauf aufbauend führen wir Risikobeiträge von gewichtetem bedingten expected Shortfall ein und beweisen mehrere Eigenschaften, wie z.B. bedingte Kohährenz und die Allokation nach Euler. Es ist möglich, Kapitalallokationen sowie Risikobeiträge von Teilportfolios auszurechnen, um den Ursprung der größten Risiken zu identifizieren. Wir geben abschließend einige motivierende Beispiele, wie z.B. eine Anwendung auf diskrete Zeitreihen. Der erste Teil dieser Dissertation bietet, vereinfacht ausgedrückt, eine solide und umfangreiche Analyse von diversen neuen, wie auch bekannten, bedingten Risikomaßen, welche explizit berechnet werden können und somit sowohl für Praktikerinnen und Praktiker, als auch für Forscherinnen und Forscher Verwendung finden. Der zweite Teil dieser Dissertation beschäftigt sich mit der Entwicklung eines Frameworks zur Schätzung von stochastischen Sterbetafeln und, in weiterer Folge, zur Modellierung von kumulierten Risiken in Kredit-, Pensions- und Lebensversicherungsportfolios, basierend auf einer Erweiterung des Kreditrisikomodells CreditRisk+. Das Ableben jedes einzelnen Versicherungsnehmers wird durch gemeinsame stochastische Risikofaktoren gesteuert, welche direkt mit diversen Todesursachen wie etwa Krebs oder Herz-Kreislauf-Erkrankungen verknüpft werden können. Unser Modell bietet einen äußerst effizienten und numerisch stabilen Algorithmus zur exakten Berechnung der Verlustverteilung des Portfolios zu gegebenen historischen Sterbedaten. Wie von diversen Aufsichtsbehörden gefordert, können Risikomaße wie Value-at-Risk und expected Shortfall dieser Verlustverteilungen leicht berechnet werden. Basierend auf öffentlich zugänglichen Daten entwickeln wir verschiedene Schätzverfahren, wobei, aufgrund der Komplexität des Problems, Markov Chain Monte Carlo (MCMC) von besonderer Bedeutung ist. Basierend auf australischen Daten zeigen wir die Funktionsweise, sowie weitere Anwendungen unseres Modells. Unser Modell erlaubt vor allem die Analyse von Stressszenarien, wodurch Einblicke in den Wirkungsmechanismus diverser unvorhergesehener Schadensereignisse und die damit einhergehenden Auswirkungen auf Versicherungsleistungen ermöglicht werden. Solche Szenarien können der Ausbruch einer Epidemie, die Verbesserung von medizinischen Behandlungen, sowie die Entwicklung wirkungsvollerer Medikamente sein. Weitere Anwendungen unseres Modells beinhalten die Vorhersage von Sterbewahrscheinlichkeiten und demographischen Verschiebungen.

In the first part of this thesis we deal with a detailed analysis of several classes of conditional risk measures which are natural generalisations of classical risk measures such as value at risk or expected shortfall. They provide the basis for an assessment of acceptable risk in a dynamic environment to cover unexpected losses. Based on the upper envelope and conditional lower quantiles, we define conditional distortion risk measures via a pathwise Lebesgue-Stieltjes integral representation and give a collection of different properties. Conditional expected shortfall arises as a special case of conditional distortion risk measures. We also give a definition via an explicit density with adjusted indicator function on a modelling setup involving stochastic levels and generalised conditional expectations based on sigma-integrability. We prove additional properties and give several alternative representations of conditional expected shortfall. Furthermore, we point out the link to dynamic risk measures and show a supermartingale property, as well as the property of prospective increase in uncertainty for submartingales. Weighted conditional expected shortfall, which includes beta- and alpha-value-at-risk, also arises as a special case of conditional distortion risk measures. We then introduce contributions to weighted conditional expected shortfall and prove several properties, including conditional coherence and Euler allocation. It is possible to derive allocation of capital and, in particular, contributions of subportfolios in order to identify main sources of risk. We end with some motivating examples including a time series application. Thus, the first part provides a sound approach and a thorough analysis of some well-known, as well as new classes of conditional risk measures which can be calculated explicitly. Therefore, we provide a useful toolbox for risk measurement, addressing practitioners, as well as scientists working in this field. In the second part of this thesis, using an extended version of the credit risk model CreditRisk+, we develop a flexible framework to estimate stochastic life tables and to model credit, life insurance and annuity portfolios, including actuarial reserves. Deaths are driven by common stochastic risk factors which may be interpreted as death causes like neoplasms, circulatory diseases or idiosyncratic components. Our approach provides an efficient, numerically stable algorithm for an exact calculation of the one-period loss distribution where various sources of risk are considered. As required by many regulators, we can then derive risk measures for the one-period loss distribution such as value at risk and expected shortfall. Using publicly available data, we provide estimation procedures for model parameters including classical approaches, as well as Markov chain Monte Carlo methods. We conclude with a real world example using Australian death data. In particular, our model allows stress testing and, therefore, offers insight into how certain health scenarios influence annuity payments of an insurer. Such scenarios may include outbreaks of epidemics, improvement in health treatment, or development of better medication. Further applications of our model include modelling of stochastic life tables with corresponding forecasts of death probabilities and demographic changes.