Nitsche-based enforcement of Dirichlet boundary conditions for the Hodge Laplacian

Abstract

Diese Arbeit untersucht die diskrete Hodge Laplace Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen vom Nitsche-Typ. Im Rahmen des Finite Element Exterior Calculus zeigen wir Wohlgestelltheit, Konsistenz, Konvergenz sowie eine suboptimale a-priori-Fehlerschranke. Für 1-Formen in 2D verschärfen wir diese Schranke zu einer optimalen a-priori-Schranke, was durch numerische Tests bestätigt wird. Weitere 3D-Experimente für 1- und 2-Formen weisen die gleiche Konvergenzrate auf, bleiben jedoch um eine halbe Ordnung unter der theoretischen Schranke. Wir demonstrieren zudem die Robustheit auf nicht-konvexen Mannigfaltigkeiten und untersuchen den Einfluss verschiedener Störparameter, was auf Anwendungen in der kompressiblen Stokes-Strömung hindeutet.

This thesis investigates the discrete Hodge Laplace equation with Nitsche-type Dirichlet boundary conditions. Within the Finite Element Exterior Calculus framework we establish well-posedness, consistency, convergence, and a sub-optimal a-priori error estimate. For 1-forms in 2D we sharpen this to an optimal estimate, confirmed by numerical tests. Further experiments in 3D for both 1- and 2-forms show the same convergence rate, still half an order below the theoretical bound. We also demonstrate robustness on non-convex domains and study the effect of different perturbation factors, hinting at applications to compressible Stokes flow.