Machine learning a perfect lattice action for the O(3) non-linear sigma-model

Abstract

Die Diskretisierung einer Quantenfeldtheorie auf einem endlichen Raumzeit-Gitter ermöglicht es, ihre (nicht-)pertubativen Eigenschaften zu untersuchen. Effekte dieser Diskretisierung erschweren jedoch oftmals die korrekte Bestimmung von Kontinuum-Observablen, die aufgrund dessen mit großem numerischen Aufwand verbunden sein kann. Ein Ansatz zur Vermeidung dieses Problems ist gegeben durch den Einsatz von Fixpunkt-Wirkungen, einer Art von perfekten Gitter-Wirkungen mit den klassischen Eigenschaften einer Kontinuum-Wirkung: Sie führen erwartungsgemäß zu unterdrückten Gitterartefakten in Simulationen, selbst auf dem Level von Quanteneffekten, und ermöglichen daher eine effizientere Berechnung von Observablen schon auf kleinen und gröberen Gittern. Der Nachteil einer Fixpunkt-Wirkung ist, dass sie nur implizit durch eine allein für sie gültige Fixpunkt-Gleichung definiert ist. Eine geeignete Parametrisierung für sie zu finden stellt somit ein schwieriges Problem dar, das in der Vergangenheit bereits öfters untersucht wurde.Maschinelles Lernen eröffnet einen alternativen Zugang zu dem Problem: In dieser Arbeit zeige ich, wie symmetrieerhaltende neuronale Netzwerke eingesetzt werden können, um eine Fixpunkt-Wirkung für das O(3) nicht-lineare Sigma-Modell zu approximieren und vergleiche ihre Vorhersagequalität mit bereits existierenden Parametrisierungen. Ausgehend von den Informationen, die aus der Fixpunkt-Gleichung abgeleitet werden können, und mit denen die Netzwerke trainiert werden, wird ein Ansatz für eine neuronale-Netzwerk-Wirkung eingeführt. Die Modelle werden anschließend nach einem überwachten und einem neuen, unüberwachten Schema trainiert und im Anschluss auf einem unabhängigen Datensatz getestet. Die Qualität der Modelle ist vergleichbar mit der von existierenden Parametrisierungen und sogar besser für grobe Konfigurationen. Dies legt nahe, dass Methoden des maschinellen Lernens das Potential haben um gute Approximationen für klassisch perfekte Gitter-Wirkungen des O(3) nicht-linearen Sigma-Modells zu finden, und dass sie eine solide Grundlage für weiterführende Studien bilden können.

Lattice quantum field theory is a powerful tool to study a theory's (non-)perturbative properties by discretizing it on a finite spacetime lattice. The correct evaluation of continuum observables is complicated by the effects of this discretization, whose removal often requires large computational efforts. Fixed-point actions, a class of perfect lattice actions with the classical properties of a continuum action, can be used to partially circumvent this problem: They are expected to have strongly suppressed lattice artefacts, even on the quantum level, allowing for the more efficient computation of observables on smaller and coarser lattices. A downside of fixed-point actions is that they are only defined implicitly through a fixed-point equation that requires the action itself as input. Finding a suitable parametrization thus poses a difficult task that has been addressed repeatedly in the past.Machine learning offers an alternative approach to the problem: In this work, I demonstrate how symmetry-preserving neural networks can be used to approximate fixed-point actions for the O(3) non-linear sigma-model and compare their generative capabilities to past parametrizations. Starting from the information that can be inferred from the fixed-point equation and that is employed in the training of the networks, a specific ansatz for a neural network-based action is motivated. The models are then trained following a supervised as well as a novel unsupervised scheme and are finally tested on an independent dataset. They compare well to previously found parametrizations, and even outperform them on coarser configurations. This shows that machine learning methods have the potential to find good approximations of classically perfect lattice actions for the O(3) non-linear sigma-model and may provide a solid basis for future studies.