Surface area measures, Minkowski endomorphisms and j-projection bodies

Abstract

In dieser Arbeit werden zwei Beiträge zur Theorie der konvexen Körper (kompakte und konvexe Mengen) behandelt. Der Raum der konvexen Körper in R n wird mit K n bezeichnet. Der erste Teil befasst sich mit dem Konzept von Minkowski Endomorphismen. Ein Minkowski Endomorphismus ist eine stetige, SO(n)-equivariante und translationsinvariante Abbildung \Phi: K n \to \K n, die additiv bezüglich der punktweisen Addition (Minkowski Addition) von konvexen Körpern ist. Als eines der wichtigsten Resultate dieser Arbeit wird gezeigt, dass alle Minkowski Endomorphismen gleichmäßig stetig sind. Dieses Resultat beantwortet eine seit mehreren Jahren offene Frage. Desweiteren wird gezeigt, dass es nichtmonotone, gerade Minkowski Endomorphismen gibt, und es werden außerdem Fragen in Bezug auf den allgemeineren Begriff von Minkowski Bewertungen beantwortet. Im zweiten Teil dieser Arbeit wird, auf der Grundlage eines gemeinsamen Artikels mit Franz Schuster, der Begriff von j-Projektionenkörpern eingeführt. Dieser verallgmeinert wichtige bestehende Konzepte und kann als duales Gegenstück zu dem von Spezialisten vielfach untersuchten Begriff von j-Schnittkörpern gesehen werden. Als Hauptresultat wird eine fourieranalytische Charakterisierung für j-Projektionenkörper bewiesen. Darüber hinaus wird gezeigt, dass es Zonoide gibt, welche nicht zur Klasse der j-Projektionenkörper gehören.

In this thesis two contributions two the theory of convex bodies (compact and convex sets) will be discussed. The space of convex bodies in R n will be denoted by K n. The first part deals with the concept of Minkowski endomorphisms. A Minkowski Endomorphism is a contineous, SO(n)-equivariant and translation invariant map \Phi: \K \to \K that is additive with respect to the point-wise addition (Minkowski addition) of convex sets. As one of the most important results in this thesis, we will prove that all Minkowski Endomorphisms are uniformly continuous. This answers a question that has been open for several years. Furthermore, we will show that there exist non monotone even Minkowski endomorphisms and answer a few questions regarding the more general notion of Minkowski valuations. In the second part, based on a joint paper with Franz Schuster, the notion of j-projection bodies will be introduced. This concept generalizes well known and important concepts from convex geometry. Moreover, it can be seen as a dual version to the well studied notion of j-intersection bodies. As the main result a fourier-analytic characterization of j-projection bodies will be established. Moreover, it will be shown that there exist zonoids that are not j-projection bodies.