Das Banach-Tarski Paradoxon

Abstract

Das Paradoxon von Banach-Tarski ist möglicherweise das verblüffendste Ergebnis moderner Mathematik. In seiner klassischen Variante besagt es, dass es möglich ist eine Kugel des Raumes in endlich viele Stücke zu zerlegen, welche anders zusammengesetzt zwei volle Kugeln der ursprünglichen Größe ergeben.Der offensichtliche Widerspruch, dass es nicht möglich ist durch Bewegungen ein Volumen zu verdoppeln, löst sich auf, indem man die Konsequenz zieht, das die Zerteilung so kompliziert von statten geht, dass es nicht möglich ist, den einzelnen Teilen ein Volumen zuzuordnen.In der folgenden Diplomarbeit konstruieren wir einen Beweis des berühmt berüchtigten Paradoxons von Banach-Tarski, ehe wir uns mit verwandten Fragestellungen im weiteren Verlauf beschäftigen. Zunächst nehmen wir die maßtheoretischen Konsequenzen unter die Lupe und folgern, dass beim Paradoxon von Banach-Tarski nicht messbare Mengen involviert sein müssen, sowie, dass das Inhaltsproblem ab Raumdimension 3 nicht mehr lösbar ist. Mit dem Satz von Tarski drehen wir die Fragestellung dann um und beweisen, dass sich für nicht paradoxe Mengen Inhalte finden lassen, deren Volumen normiert bleiben.Weiters zeigen wir dann, dass sich für Raumdimension 1 und 2 kein Analogon zum Paradoxon von Banach-Tarski finden lässt und folgern mit Hilfe des Satzes von Tarski, dass dasInhaltsproblem in Dimension 1 und 2 in der Tat eine Lösung besitzt. Abschließend lösen wir mit den neugewonnenen Methoden ein zum Verwechseln ähnliches Problem zu dem der Quadratur des Kreises aus der Antike, ohne uns in die Welt der pseudomathematischen Kreisquadrierer zu verirren.

The Banach-Tarski paradox is possibly the most astonishing result of modern mathematics.In its classic form, it states that it is possible to decompose a ball in space into a finitenumber of pieces, which can then be reassembled in such a way as to form two full balls ofthe original size.The apparent contradiction, that it is impossible to double a volume merely by rearrangingpieces, is resolved by considering that the decomposition is so complex that it is impossibleto assign a volume to the individual pieces.In the following thesis, we construct a proof of the infamous Banach-Tarski paradox,before addressing related questions in the subsequent sections. First, we examine themeasure-theoretic consequences and conclude that the Banach-Tarski paradox involves non-measurable sets and that the problem of assigning volume becomes unsolvable in spatialdimensions of 3 or higher. With Tarski’s theorem, we then reverse the question and provethat for non-paradoxical sets, it is possible to assign volumes that remain normalized. Fur-thermore, we show that in dimensions 1 and 2, no analog to the Banach-Tarski paradox canbe found, and using Tarski’s theorem, we conclude that the problem of assigning volumein dimensions 1 and 2 indeed has a solution. Finally, we will solve a problem strikinglysimilar to that of squaring the circle from ancient times using the newly acquired methods,without losing ourselves in the world of pseudo-mathematical circle-squarers.