On vector-valued valuations on convex functions

Abstract

Aufbauend auf den Arbeiten von A. Colesanti, M. Ludwig und F. Mussnig, die ein funktionales Analogon des Hadwigerschen Satzes etabliert haben, das die funktionalen intrinsischen Volumina auf dem Raum der superkoerziven konvexen Funktionen charakterisiert, untersuchen wir eine neue Familie von Bewertungen mit Schwerpunkt auf vektorwertigen. Wir führen funktionale Minkowski-Vektoren ein, das sind stetige, vektorwertige Bewertungen, die epitranslationsinvariant und rotationsäquivariant sind. Wir geben eine Charakterisierung dieser Bewertungen mittels hessischer Maße und spezieller gemischter Monge–Ampère-Maße. Sie entstehen natürlich aus einer Steiner-Formel, angewandt auf ein funktionales Analogon des Momentenvektors, das wir ebenfalls charakterisieren. Als Anwendung in der Integralgeometrie leiten wir eine additive kinematische Formel her, die die funktionalen Minkowski-Vektoren involviert.

Building on the work of A. Colesanti, M. Ludwig, and F. Mussnig, who established a functional analogue of Hadwiger’s theorem characterizing functional intrinsic volumes on the space of super-coercive convex functions, we investigate a new family of valuations, with a focus on vector-valued ones. We introduce functional Minkowski vectors, which are continuous, vector-valued valuations that are epi-translation invariant and rotation equivariant. We provide a characterization of these valuations in terms of Hessian measures and special mixed Monge-Ampère measures. They arise naturally from a Steiner formula applied to a functional analogue of the moment vector, which we also characterize. As an application in integral geometry, we derive an additive kinematic formula involving the functional Minkowski vectors.