Reinsurance in a Three Period Model with a Normally Distributed Target

Abstract

Diese Arbeit befasst sich mit optimalen proportionalen Rückversicherungsstrategien unter der Nebenbedingung eines normalverteilten Zielüberschusskapitals des Versicherers zu einem fixen Endzeitpunkt. Die Arbeit baut auf dem Zwei Perioden Modell von Colaneri, Eisenberg und Salterini auf und erweitert dieses um eine dritte Periode. Der Fokus liegt darin, die Ruinwahrscheinlichkeit über den gesamten Zeithorizont zu minimieren und gleichzeitig die vorgegebene Zielverteilung sicherzustellen. Für das Zwei Perioden Modell mit Anfangskapital x kann analytisch gezeigt werden, dass bei der Wahl eines genügend kleinen Startkapitals die optimale Strategie mit dem Fall ohne Startkapital übereinstimmt. Für hohes Anfangskapital werden numerische Methoden verwendet, die auf Monte-Carlo-Simulation sowie der Simulation multivariat normalverteilter Zufallsvariablen basieren, um Überlebenswahrscheinlichkeiten zu berechnen und die optimale Wahl der Rückversicherungsquoten zu bestimmen. Mit steigendem Anfangskapital ändert sich die Reihenfolge der optimalen zulässigen Rückversicherungsstrategien. Dies zeigt auf, dass durch die Erweiterung auf eine dritte Periode die Wahl der zulässigen Strategien stochastisch wird. Die Ergebnisse zeigen die entscheidende Rolle des Anfangskapitals bei der Wahl der optimalen Rückversicherungsquote im zwei Perioden Modell. Mit Anfangskapital 0, wird die optimale Quote in der ersten Periode maximiert, wohingegen sich die Strategie bei steigendem Kapital verändert. Die Arbeit zeigt, dass die Erweiterung des Modells auf eine dritte Periode die Komplexität erheblich steigert, und liefert sowohl analytische Einsichten als auch numerische Analysen, um dieser Fragestellung für das drei Perioden Modell auf den Grund zu gehen.

This thesis deals with optimal proportional reinsurance strategies under the constraint that the surplus at a fixed terminal time follows a given normal distribution. The work builds on the two period model of Colaneri, Eisenberg and Salterini, extending it to a third period. The main objective is to minimize ruin probabilities throughout the time horizon while ensuring the target terminal distribution, providing a practical basis for risk measures such as Value at Risk or Expected Shortfall. For the two period model with initial capital x, analytical results show that assuming small capital the optimal strategy coincides with the case without capital. For larger initial capital numerical methods, using basic Monte Carlo simulation and the simulation of multivariate normal distributed random variables, are used to compute survival probabilities and determine the optimal choice of retention level of a reinsurance contract. With increasing initial capital, the ordering of optimal admissible reinsurance strategies changes. This indicates, that by the extension to a third period, the choice of admissible strategies becomes stochastic. The results highlight the crucial role of initial capital in making optimal reinsurance decisions for the two period model. With initial capital 0, the optimal first period retention is maximized, whereas with capital the strategy changes. The thesis demonstrates that the extension of the model to a third period significantly increases its complexity, and it provides analytical insights and numerical analysis to address the problem for the three period model.