Expansion of IgANets to Localised Material Properties for Solid Mechanics

Abstract

Klassische numerische Simulationsmethoden, darunter die Finite Elemente Methode (FEM), sind fest etabliert und bieten robuste, zuverlässige und genaue Lösungen für eine Vielzahl von technischen Problemen. Die isogeometrische Analyse (IGA) stellt einen bedeutenden Fortschritt dar, da sie die direkte Verwendung exakter Geometriebeschreibungen aus dem computergestützten Design (CAD) im Rahmen der Berechnung ermöglicht. Mit zunehmender Modellkomplexität und dem wachsenden Bedarf an schnellen Designiterationen können jedoch die Rechenkosten traditioneller FEM- und IGA-basierter Simulationen zu einer Einschränkung werden, insbesondere wenn nur kleine Designänderungen von Interesse sind. In solchen Szenarien sind schnelle und effiziente Lösungsmethoden erforderlich.Maschinelle Lernverfahren bieten eine vielversprechende Alternative, da sie eine schnelle Auswertung ähnlicher Probleme ermöglichen, sobald ein Modell passend trainiert wurde. Werden die zugrunde liegenden physikalischen Gesetze explizit in den Trainingsprozess integriert, spricht man von physics-informed machine learning, bei dem die physikalischen Grundlagen dem Modell als zusätzliche Information zur Verfügung gestellt werden.IGANets kombinieren die geometrische Genauigkeit und Glattheit der Basisfunktionen der isogeometrischen Analyse mit einem physics-infomed Netzwerk, wodurch exakte Darstellungen und physikalische Gesetze direkt in den Lösungsprozess einbezogen werden können. Dies führt zu einer effizienten Lösungsstrategie, die bereits erfolgreich an Problemen wie der Poisson-Gleichung und der linearen Elastizität mit homogenen Materialeigenschaften angewendet wurde und sowohl Genauigkeit als auch Recheneffizienz unter Beweis gestellt hat.Das Ziel dieser Arbeit ist es, IGANets auf mechanische Probleme mit inhomogenen Materialverteilungen auszuweiten. Die maßgeblichen mechanischen Gleichungen werden berücksichtigt und ein splinebasierter Ansatz zur Modellierung lokalisierter Materialeigenschaften innerhalb des IGANets-Frameworks entwickelt. Diese Implementierung wird anschließend auf ein Optimierungsproblem mit lokal variierendem Material angewendet. Ferner werden mehrere numerische Beispiele vorgestellt, um die Methode zu validieren und ihr Potenzial für die Optimierung einer lokal variierenden Materialverteilung aufzuzeigen. Die Ergebnisse bestätigen die Gültigkeit der Implementierung innerhalb eines eingeschränkten Anwendungsbereichs und zeigen, dass mechanische Probleme mit lokalisierten Materialeigenschaften mit angemessener Genauigkeit gelöst werden können. Darüber hinaus liefert das Optimierungsbeispiel physikalisch plausible Ergebnisse, dies unterstreicht die Anwendbarkeit des Ansatzes.

Classical numerical simulation methods including the finite element method (FEM) are well established and provide robust, reliable, and accurate solutions for a wide range of engineering problems. Isogeometric analysis (IGA) represents a significant advancement by enabling the direct use of exact geometric descriptions from computer-aided design (CAD) within the analysis framework. However, with increasing model complexity and the growing need for rapid design iterations, the computational cost of traditional FEM- and IGA-based simulations can become restrictive, particularly when only small design modifications are of interest. In such scenarios, fast and efficient solution methods are essential.Machine learning techniques offer a promising alternative by enabling rapid evaluation of families of similar problems once a model has been trained. When the underlying physical laws are explicitly embedded into the training process, this approach results in physics-informed machine learning frameworks.IGANets combine the geometric accuracy and smoothness of isogeometric analysis with a physics-informed machine learning framework, enabling the direct incorporation of exact geometric representations and governing physical laws into the solution process. This results in a highly efficient solution strategy that has already been successfully applied to problems as is the case for the Poisson equation and linear elasticity with homogeneous material properties, demonstrating both accuracy and computational efficiency.The objective of this thesis is to extend IGANets to mechanical problems involving inhomogeneous material distributions. The mechanical governing equations are considered, and a spline-based approach for modelling localised material properties within the IGANets framework is developed. This implementation is subsequently applied to a multi-material optimisation problem.Several numerical examples are presented to validate the proposed method and to demonstrate its potential for multi-material optimisation. The results confirm the applicability within a limited range and show that mechanical problems with localised material properties can be solved with appropriate accuracy. Furthermore, the optimisation examples yield physically reasonable results, highlighting the usability of the approach.