Optimal Multidimensional Reinsurance Strategies under a Profit-Oriented Value Function

Abstract

Diese Arbeit untersucht optimale Rückversicherungsstrategien für einen in mehreren Sparten tätigen Versicherer und erweitert die Arbeiten von Azarbad et al. sowie Cani und Thonhauser, indem sie Schadenexzedenten-Verträge mit Haftungslimit in die Analyse einbezieht. Hierbei werden die zugrunde liegenden Risikoprozesse mit Hilfe des Cramér-Lundberg-Modells modelliert. Zudem wird eine Common-Shock-Abhängigkeitsstruktur in das Modell integriert, um gleichzeitige Schadenereignisse über verschiedene Sparten hinweg zu berücksichtigen. Für jede Sparte kann der Versicherer einen Teil seines Risikos an einen Rückversicherer übertragen. Ziel ist es, im Rahmen eines stochastischen Kontrollproblems den erwarteten, diskontierten und bis zum Ruin akkumulierten Überschuss zu maximieren. Hierbei zeigt sich, dass sich die Wertfunktion als die eindeutige Lösung der entsprechenden Hamilton-Jacobi-Bellman-Gleichung charakterisieren lässt. Es werden Bedingungen hergeleitet, unter denen Schadenexzedenten-Verträge mit Haftungslimit hinsichtlich der Wertfunktion bessere Ergebnisse erzielen als jene ohne Haftungslimit. Zudem erfolgt die Bestimmung mathematischer Schranken, die eine Entscheidung zwischen Schadenexzedenten-Verträgen und proportionalen Verträgen ermöglichen. Des Weiteren wird eine Sensitivitätsanalyse durchgeführt, die den Einfluss der wichtigsten Modellparameter untersucht. Abschließend wird ein numerisches Schema zur Approximation der Wertfunktion sowie der zugehörigen Rückversicherungsstrategien vorgestellt. Dieses Verfahren wird anhand numerischer Beispiele und einer Implementierung in R demonstriert, die die theoretischen Ergebnisse visualisieren.

This thesis investigates optimal reinsurance strategies for an insurer active in multiple lines of business, extending the work of Azarbad et al. as well as Cani and Thonhauser by incorporating layer excess-of-loss contracts in the analysis. The underlying risk processes are modelled using the Cramér-Lundberg framework. In addition, a common shock dependency structure is integrated into the model to account for simultaneous claims across different lines of business. For each line of business, the insurer can transfer part of its risk to a reinsurer. The objective is to maximise the expected discounted surplus level accumulated up to ruin within the framework of a stochastic control problem. It is observed that the value function can be characterised as the unique solution of the corresponding Hamilton-Jacobi-Bellman equation. Analytic conditions are derived under which layer excess-of-loss contracts outperform standard excess-of-loss contracts, and a decision boundary between excess-of-loss and proportional reinsurance contracts is established. Furthermore, a sensitivity analysis is conducted to examine the influence of model parameters. Finally, a numerical scheme is presented to approximate the value function and the corresponding reinsurance strategies. Numerical examples and an R implementation are used to demonstrate this approach and visualise the theoretical results.