Characterization and Practical Certification of Entanglement

Abstract

Quantenverschränkung, eine starke Form von Korrelation, die sich nicht klassisch erklären lässt, steht im Zentrum der Quanteninformationswissenschaft und bildet die Grundlage für aufkommende Technologien wie Quanten-Computing, Quantenkommunikation und Quantensensorik. Während bipartite Verschränkung inzwischen vergleichsweise gut verstanden ist, sind sowohl multipartite als auch hochdimensionale Verschränkung bislang deutlich weniger erforscht, sowohl hinsichtlich ihrer strukturellen Charakterisierung als auch ihrer experimentellen Zertifizierung. Daraus ergeben sich zwei zentrale Fragestellungen:1. Wie lassen sich diese komplexen Formen der Verschränkung systematisch verstehen und klassifizieren? 2. Wie können sie in realistischen Quantensystemen unter Rauschen und eingeschränkten Messmöglichkeiten zuverlässig nachgewiesen werden? Diese Dissertation behandelt diese Fragen durch die Entwicklung theoretischer sowie praktisch umsetzbarer Methoden zur Charakterisierung und Zertifizierung von Verschränkung in multipartiten und hochdimensionalen Quantensystemen. Der erste Teil (Kapitel 3) der Arbeit untersucht die Struktur multipartiter Verschränkung im Kontext von deren Manipulation mittels lokaler Operationen und klassischer Kommunikation (local operations and classical communication, LOCC). Letztere stellen die freien Operationen in der Ressourcentheorie der Verschränkung dar (d. h. sie erzeugen keine Verschränkung). Es ist bekannt, dass generische vollständig verschränkte multipartite Zustände isoliert sind, das heißt, dass sie weder aus einem anderen nicht äquivalenten verschränkten Zustand mittels LOCC erzeugt noch in einen solchen überführt werden können. Dies wirft die grundlegende Frage auf, ob nicht-isolierte Zustandsfamilien existieren und wie diese charakterisiert werden können. Wir identifizieren und untersuchen systematisch solche Familien innerhalb der Klassifikation multipartiter Zustände in stochastische LOCC- (SLOCC-)Klassen. Über die bekannten Beispiele der GHZ- und W-Klassen hinaus zeigen wir, dass auch die SLOCC-Klasse des dreidimensionalen total antisymmetrischen Zustands nicht isoliert ist, in dem Sinne, dass alle Zustände innerhalb dieser Klasse mittels einfacher LOCC-Protokolle mit nur einer Runde klassischer Kommunikation in nicht äquivalente Zustände überführt werden können. Im Gegensatz dazu beweisen wir, dass große Klassen multipartiter Zustände – abhängig von der mathematischen Struktur ihrer Stabilisatoren – Formen schwacher Isolation aufweisen, die sowohl die Erreichbarkeit durch LOCC mit endlich vielen Runden als auch Transformationen mit nur einer Runde ausschließen. Diese Ergebnisse liefern starke Hinweise darauf, dass nicht isolierte SLOCC-Klassen selten sind, und offenbaren eine deutlich reichhaltigere und differenziertere Struktur multipartiter Verschränkungstransformationen als bislang angenommen. Zugleich vertiefen sie das Verständnis der operationalen Struktur von Verschränkung jenseits des bipartiten Falls.Der zweite Teil (Kapitel 4) der Dissertation widmet sich der Zertifizierung hochdimensionaler (HD) bipartiter Verschränkung. Wir entwickeln einen vielseitigen Rahmen zum Nachweis hochdimensionaler Verschränkung – insbesondere der Schmidt-Zahl – auf Grundlage von Korrelationen in komplementären Messbasen. Während solche Zertifizierungsverfahren traditionell auf zueinander unverzerrten Basen (mutually unbiased bases, MUBs) beruhen, deren exakte Implementierung experimentell anspruchsvoll oder auf manchen Plattformen garnicht realisierbar ist, verallgemeinern wir diesen Ansatz auf Korrelationen in beliebigen lokalen Basen. Dies ermöglicht den Nachweis und die Quantifizierung hochdimensionaler Verschränkung in realistischen experimentellen Szenarien bei gleichzeitiger Robustheit gegenüber Rauschen und Fehljustierung. Darüber hinaus führen wir eine einfache Konstruktion von drei MUBs ein, die in beliebigen Dimensionen anwendbar ist und nicht auf der Standardkonstruktion nach Wootters–Fields basiert, wodurch die praktische Umsetzung in hochdimensionalen Systemen weiter erleichtert wird. Insgesamt liefern diese Ergebnisse experimentell zugängliche Kriterien, die auf eine Vielzahl photonischer und anderer Quantensysteme angewendet werden können.Der dritte Teil (Kapitel 5) der Dissertation behandelt den Nachweis genuiner multipartiter Verschränkung (genuine multipartite entanglement, GME) und von k-Inseparabilität in Mehr-Qubit-Systemen mit eingeschränkten Messmöglichkeiten. Dieses Problem ist insbesondere für aktuelle Quantenplattformen relevant, etwa photonische Systeme mit in Zeitintervallen kodierter Quanteninformation oder supraleitende Bauelemente, die Mikrowellenphotonen emittieren, bei denen gemeinsame Messungen an vielen Qubits entweder experimentell schwierig oder zunehmend verrauscht sind und daher eine vollständige Zustandstomographie ausschließen. Zur Überwindung dieser Einschränkungen entwickeln wir vielseitige Verschränkungskriterien, die auf beliebige Quantenzustände anwendbar sind und lediglich eine begrenzte Menge lokaler Observablen erfordern. Insbesondere müssen für n-Qubit-Zielzustände in Form von Graphenzuständen nur O(n2) Stabilisatoroperatoren aus einer exponentiell großen Menge möglicher Messungen bestimmt werden, wobei die Lokalität dieser Operatoren durch das Doppelte des maximalen Knotengrads des zugrunde liegenden Graphen beschränkt ist. Für prominente Familien wie Cluster- und Ringgraphenzustände reduziert sich dies auf Stabilisatoren konstanter Gewichtung, was die experimentelle Umsetzung erheblich vereinfacht. Durch die Kombination dieser Konstruktionen mit semidefiniten Optimierungsmethoden (und gegebenenfalls graphlokalen Komplementationen) lässt sich der Messaufwand weiter reduzieren und die praktische Anwendbarkeit verbessern. Wir zeigen analytisch und numerisch, dass die resultierenden Kriterien robust gegenüber realistischem Rauschen sind und sogar zur Abschätzung von Schranken für die Zustandsgüte aus zertifizierter k-Inseparabilität verwendet werden können. Damit stellen sie skalierbare und experimentell realisierbare Werkzeuge zur Verifikation von Verschränkung in aktuellen und zukünftigen Quantensystemen bereit.Insgesamt etablieren die Ergebnisse dieser Dissertation eine einheitliche Perspektive auf Verschränkung, die deren strukturelle Charakterisierung mit praktisch zugänglichen Zertifizierungsmethoden verbindet. Durch die Verknüpfung fundamentaler Eigenschaften multipartiter Verschränkung unter dem Einfluss von LOCC mit experimentell realisierbaren Nachweisstrategien in hochdimensionalen und Vielteilchensystemen bildet diese Arbeit ein Verbindungsglied zwischen abstrakter Theorie und realistischen Quantentechnologien. Diese Fortschritte tragen zur Entwicklung skalierbarer und zuverlässiger Methoden für das Verständnis und die Verifikation von Verschränkung in zunehmend komplexen Quantenplattformen bei.

Quantum entanglement, a strong form of correlations that cannot be explained classically, lies at the heart of quantum information science and underpins emerging technologies such as quantum computation, communication, and sensing. While bipartite entanglement is relatively well understood by now, both multipartite and high-dimensional entanglement remain far less explored, both in terms of their structural characterization and their experimental certification. This raises two challenging questions:1. How can these complex forms of entanglement be systematically understood and classified?2. How can they be reliably detected in realistic quantum devices subject to noise and measurement constraints?This thesis addresses these questions by developing theoretical and practically implementable methods for the characterization and certification of entanglement in multipartite and high-dimensional quantum systems.The first part (Chapter 3) of the thesis focuses on the structure of multipartite entanglement under local operations and classical communication (LOCC), which constitute the free operations in the resource theory of entanglement (i.e., they do not generate entanglement). It was known that generic fully entangled multipartite states are isolated, meaning that they cannot be reached from nor converted to any inequivalent entangled state via LOCC. This raises the fundamental question of whether non-isolated families of states exist and how they can be characterized. We identify and systematically investigate such families within the classification of multipartite states into stochastic LOCC (SLOCC) classes. Beyond the well-known examples of the GHZ and W classes, we show that the SLOCC class of the three-qutrit totally antisymmetric state is also isolation-free, in the sense that all states within this class can be converted into inequivalent states via simple LOCC protocols involving only a single round of classical communication. In contrast, we prove that large classes of multipartite states, depending on the mathematical structure of their stabilizers, exhibit forms of weak isolation, precluding both reachability with finite-round LOCC and one-round transformations. These results provide strong evidence that non-isolated SLOCC classes rarely exist, thereby revealing a far richer and more nuanced landscape of multipartite entanglement transformations than previously recognized, and deepening our understanding of its operational structure beyond the bipartite regime.The second part (Chapter 4) of the thesis turns to the certification of high-dimensional (HD) bipartite entanglement. We develop a versatile framework for witnessing HD entanglement–specifically, the Schmidt number–based on correlations observed in complementary measurement bases. While such certification is traditionally formulated in terms of mutually unbiased bases (MUBs), whose implementation can be experimentally demanding or even infeasible in certain platforms, we generalize this approach to correlations in arbitrary local bases. This approach enables the detection and quantification of HD entanglement in experimentally relevant scenarios, while maintaining strong robustness to noise and misalignment. In addition, we introduce a simple construction of three MUBs that is applicable in all dimensions without relying on the standardWootters–Fields framework, thereby further facilitating practical implementations in high-dimensional systems. Together, these results provide experimentally accessible criteria that can be directly applied to a wide range of photonic and other quantum platforms.The third part (Chapter 5) of the thesis addresses the detection of genuine multipartite entanglement (GME) and k-inseparability in multi-qubit devices with restricted measurement capabilities. This problem is particularly relevant for near-term quantum platforms, such as time-bin encoded photonic systems or superconducting devices that emit microwave photons, where joint measurements on many qubits are either experimentally challenging or increasingly noisy, excluding the possibility of performing full state tomography. To overcome these limitations, we develop versatile entanglement criteria applicable to arbitrary quantum states that rely only on a limited subset of local observables. Specifically, for n-qubit target graph states, our approach requires measuring only O(n2) stabilizer operators out of the exponentially large set of possible measurements, with the locality of these operators bounded by twice the maximum degree of the underlying graph. For prominent families such as cluster and ring graph states, this reduces to constant-weight stabilizers, significantly simplifying experimental implementation. By combining these constructions with semidefinite programming techniques (and, where advantageous, graph-local complementations), we further reduce the measurement overhead and improve practical applicability. We show analytically and numerically that the resulting criteria are robust to realistic noise and can even be used to infer bounds on state infidelity from the certified k-inseparability, thereby providing scalable and experimentally feasible tools for entanglement verification in current and near-term quantum devices.Taken together, the results of this thesis establish a unified perspective on entanglement that combines its structural characterization with practically accessible certification methods. By linking fundamental properties of multipartite entanglement under LOCC to experimentally feasible detection strategies in both high-dimensional and many-body systems, this work bridges the gap between abstract theory and realistic quantum devices. These advances contribute to the development of scalable and reliable tools for understanding and verifying entanglement in increasingly complex quantum platforms.