Out-of-equilibrium systems: stationary measures and superdiffusivity

Abstract

Diese Dissertation untersucht makroskopische Phänomene, die aus stochastischen Dynamiken in der statistischen Mechanik hervorgehen, und gliedert sich in zwei Hauptteile. Der erste Teil konzentriert sich auf interagierende Teilchensysteme, welche auf nicht-mittelbaren Graphen definiert sind: den perturbierten Majority-Vote-Prozess und das Fredrickson-Andersen-$j$-Spin-Facilitated-Modell. Für das erste System betrachten wir das Regime geringen Rauschens und beweisen die Existenz mehrerer Gleichgewichtsmaße. Für das zweite System betrachten wir das Nichtgleichgewichts-Regime, in dem die Dichte der fazilitierenden Gitterplätze nahe bei $1$ liegt -- sowohl für das Gleichgewichts-Produktmaß als auch für die Anfangskonfiguration -- und wir zeigen exponentiell schnelle Konvergenz gegen das Gleichgewicht. In unseren Beweisen leiten wir exponentiell abfallende Verteilungsenden für den Durchmesser des Raum-Zeit-Clusters aus Nullen, der einen festen Knoten enthält, her -- sowohl für die perturbierte Bootstrap-Perkolation als auch für Konsensprozesse, zwei zeitdiskrete Hilfsprozesse von eigenständigem Interesse. Die zugrunde liegende hyperbolische Geometrie spielt eine zentrale Rolle in unseren kombinatorischen Argumenten, die auf Historiengraphen, dekorierten Mengensystemen und Toom-Konturen basieren. Der zweite Teil ist der skalaren stochastischen Burgers-Gleichung (SBE) und ihrer Mehrkomponenten-Verallgemeinerung gewidmet. Diese singulären stochastischen partiellen Differentialgleichungen beschreiben die mesoskopischen Fluktuationen angetriebener diffusiver Systeme, die durch einen einzelnen bzw. mehrere Erhaltungssätze charakterisiert sind. Wir etablieren unterschiedliche logarithmische superdiffusive Verhaltensweisen in der kritischen Dimension \(d=2\) für große Raum-Zeit-Skalen. Für die skalare SBE beweisen wir, dass der Bulk-Diffusionskoeffizient asymptotisch im Tauberschen Sinne wie \((\log t)^{2/3}\) divergiert, bis auf \(\log\log\log t\)-Korrekturen. Für die Mehrkomponenten-SBE zeigen wir, dass einzelne Komponenten unterschiedliche logarithmische superdiffusive Verhaltensweisen in verschiedenen Richtungen aufweisen, abhängig von den Kopplungsvektoren im nichtlinearen Term. Im Regime von schwacher zu starker Kopplung beweisen wir einen superdiffusiven zentralen Grenzwertsatz unter der geeigneten kopplungsabhängigen anisotropen Raum-Zeit-Reskalierung. Unsere Beweise stützen sich auf den theoretischen Rahmen der unendlichdimensionalen Gaußschen Analysis, des Malliavin-Kalküls und des Fockraum-Formalismus. Die Analysis konzentriert sich auf die Resolvente des zur Lösung gehörigen Generators: Wir etablieren iterative Schranken im skalaren Fall und beweisen die Konvergenz gegen die Resolvente einer effektiven Limesgleichung im Mehrkomponenten-Fall.

This dissertation investigates macroscopic phenomena emerging from stochastic dynamics in statistical mechanics, and is structured into two main parts.The first part focuses on interacting particle systems defined on nonamenable graphs: the noisy majority vote process and the Fredrickson-Andersen $j$-spin facilitated model.For the former, we consider the low-noise regime, and prove the existence of multiple equilibrium measures.For the latter, we consider the out-of-equilibrium regime where the density of facilitating sites is close to 1---both for the equilibrium product measure and for the initial configuration---and we show exponentially fast convergence to equilibrium.In our proofs we establish exponentially decaying tails for the distribution of the diameter of the space-time cluster of zeros containing a fixed vertex for both perturbed bootstrap percolation and consensus processes, two auxiliary discrete-time processes of independent interest.The underlying hyperbolic geometry plays a pivotal role in our combinatorial arguments, which are based on history graphs, decorated set systems, and Toom contours. The second part is dedicated to the scalar stochastic Burgers equation (SBE) and its multicomponent generalization.These singular stochastic partial differential equations describe the mesoscopic fluctuations of driven diffusive systems characterized by single and multiple conservation laws, respectively.We establish distinct logarithmic superdiffusive behaviors at the critical dimension \(d=2\), for large space-time scales.For the scalar SBE, we prove that the bulk diffusion coefficient diverges asymptotically in a Tauberian sense as \((\log t)^{2/3}\), up to \(\log\log\log t\) corrections.For the multicomponent SBE, we show that individual components exhibit distinct logarithmic superdiffusive behaviors in different directions, depending on the coupling vectors in the nonlinear term.In the weak-to-strong coupling regime, we establish a superdiffusive central limit theorem under the appropriate coupling-dependent anisotropic space-time rescaling.Our proofs rely on the theoretical framework of infinite-dimensional Gaussian analysis, Malliavin calculus, and Fock space formalism.The analysis centers on the resolvent of the generator associated with the solution: we establish iterative bounds in the scalar setting and prove convergence to the resolvent of an effective limit equation in the multicomponent case.