Convergence of rough volatility processes towards jump processes

Abstract

Durch Integration eines rauen Volatilitätsprozesses, d.h. eines Prozesses mit Hurst-Parameter H ∈ (0, 1/2), ist es möglich, den Hurst-Parameter auf den Bereich (−1/2, 0] zu erweitern. Prozesse mit einem Hurst-Parameter in diesem Bereich werden als hyper rough bezeichnet. In dieser Arbeit untersuchen wir das Grenzverhalten solcher Prozesse für H gegen −1/2. Der erste Teil der Abschlussarbeit befasst sich mit einer detaillierten Ausarbeitung der Resultate und Beweistechniken des Papers From Hyper Roughness to Jumps as H → −1/2. Dabei wird eine Folge von Prozessen betrachtet, die durch die Faltung fraktionaler Kerne mit stetigen Semimartingalen dargestellt werden. Sowohl die Topologie M1 und S, bezüglich der die Konvergenz stattfindet, als auch die Theorie der Volterra Integralgleichungen, werden ausführlich diskutiert. Insbesondere konvergieren die betrachteten hyper rough Prozesse für H → −1/2 gegen einen Inverse-Gaussian-Prozess. Im letzten Teil der Arbeit werden die Resultate des Papers verallgemeinert, indem in der Faltungsdarstellung Semimartingale mit Sprüngen zugelassen werden. In diesem allgemeineren Fall zeigen wir, dass der Grenzprozess der first-passage-time Prozess eines spectrally negative Lévy-Prozesses ist. Dies stellt eine echte Verallgemeinerung des im Paper erhaltenen Inverse-Gaussian-Prozesses dar, da dieser als first-passage-time Prozess einer Brownschen Bewegung mit Drift und somit als Spezialfall des allgemeineren Grenzprozesses aufgefasst werden kann.

By integrating a rough volatility process, i.e., a process with Hurst parameter H ∈ (0, 1/2),it is possible to extend the Hurst parameter to the range (−1/2, 0]. Processes with a Hurstparameter in this range are referred to as hyper-rough. In this thesis, we study the limiting behaviour of such hyper-rough processes as H → −1/2.The first part of the thesis provides a detailed exposition of the results and proof techniquesof the paper "From Hyper Roughness to Jumps as H → −1/2". We consider a sequence of processes represented as convolutions of fractional kernels with continuous semimartingales.In addition to the convergence result, we discuss in detail both the M1 and S topologies,with respect to which convergence is studied, as well as the theory of Volterra integralequations required for the analysis. In particular, as H → −1/2, the hyper-rough processes under consideration converge to an Inverse Gaussian process.In the final part of the thesis, we generalize the results of the paper by allowing the semimartingales in the convolution representation to have jumps. In this more general setting, we show that the limiting process is the first-passage-time process of a spectrally negative Lévy process. This constitutes a genuine generalization of the Inverse Gaussian process obtained in the paper, since the latter can be represented as the first-passage-time process ofa Brownian motion with drift and can thus be viewed as a special case of the more general limiting process.