This thesis investigates the use of score-based diffusion models for Bayesian inverse problems, with a focus on high-dimensional imaging applications. After introducing relevant applications such as inpainting, computed tomography (CT), deblurring and diffuse op- tical tomography (DOT) and reviewing the mathematical framework of Bayesian inverse problems, the thesis surveys recent developments in diffusion-based generative modelling, including conditional and unconditional score functions, infinite-dimensional for- mulations, and neural operator-based approximations.This work develops a principled framework for interpolating between two score functions, such as a data-driven and a model-based score. It is demonstrated that, in the small diffusion-time regime, the proposed interpolation approximates the score of a geometric mixture distribution. A tunable mixing parameter enables the adaptive weighting of the two score components without retraining, and the theoretical findings are supported by numerical experiments in Gaussian settings.This dissertation introduces UCoS, a formulation expressing conditional score functions as affine transformations of intermediate task-dependent scores for linear inverse pro- blems. The approach is derived in the infinite-dimensional Hilbert-space setting and leads to a novel framework for posterior sampling that avoids repeated evaluations of the for- ward operator during inference. A modified score matching objective is introduced to enable training, and numerical errors are theoretically quantified.Numerical experiments demonstrate the performance of the proposed methods across se- veral imaging problems. In inpainting with Gaussian priors, the proposed and conditional methods accurately reproduce posterior statistics, while unconditional approaches exhibit varying deviations. In large-scale CT imaging, UCoS achieves significant computatio- nal speed-ups and improved performance in low-parameter regimes. In high-dimensional deblurring, UCoS produces more realistic reconstructions than competing methods while requiring less computation. In a DOT problem with experimental and simulated data, the proposed methods show strong performance, with regularised variants improving reconstruction quality and coverage in challenging settings.Overall, the results highlight the potential of score-based diffusion models for scalable Bayesian inference and demonstrate how learned generative models can be integrated with a classical inverse problem structure. The thesis further suggests that hybrid and task-dependent approaches offer promising directions for improving both computational efficiency and reconstruction quality in large-scale scientific imaging problems.
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Diese Dissertation untersucht den Einsatz score-basierter Diffusionsmodelle für bayes-sche inverse Probleme mit besonderem Fokus auf hochdimensionale Bildgebungsanwen-dungen. Nach der Einführung relevanter Anwendungen wie Inpainting, Computertomo-graphie (CT), Bildschärfung (Deblurring) und diffuse optische Tomographie (DOT) sowieder Darstellung des mathematischen Hintergrundes bayesscher inverser Probleme gibt dieArbeit einen Überblick über aktuelle Entwicklungen im Bereich diffusionsbasierter gene-rativer Modelle, einschließlich bedingter und unbedingter Score-Funktionen, unendlich-dimensionaler Formulierungen und Approximationen mittels neuronaler Operatoren.Im Rahmen dieser Arbeit wird ein prinzipieller Ansatz zur Interpolation zwischen zweiScore-Funktionen entwickelt, beispielsweise zwischen einer datengetriebenen und einermodellbasierten Score-Funktion. Es wird gezeigt, dass die vorgeschlagene Interpolati-on im Regime kleiner Diffusionszeiten den Score einer geometrischen Mischverteilungapproximiert. Ein abstimmbarer Mischparameter ermöglicht eine adaptive Gewichtungder beiden Score-Komponenten ohne erneutes Training, und die theoretischen Ergebnissewerden durch numerische Experimente im gaußschen Fall gestützt.Die Dissertation führt außerdem UCoS ein, eine Formulierung, die bedingte Score-Funk-tionen als affine Transformationen problem-spezifischer Zwischenschritt-Scores für linea-re inverse Probleme ausdrückt. Die Methodik wird im unendlichdimensionalen Hilber-traum-Kontext hergeleitet und führt zu einem neuartigen Ansatz für Posterior-Sampling,das wiederholte Lösungen des direkten Systems während der Inferenz vermeidet. Zur Er-möglichung des Trainings wird eine modifizierte score matching-Zielfunktion eingeführt,und numerische Fehler werden theoretisch quantifiziert.Numerische Experimente demonstrieren die Leistungsfähigkeit der vorgeschlagenen Me-thoden anhand verschiedener Bildgebungsprobleme. Beim Inpainting mit gaußschemPrior reproduzieren die vorgeschlagenen sowie die bedingten Methoden die Posterior-statistiken präzise, während unbedingte Ansätze Abweichungen zeigen. In großskaligenCT-Bildgebungsproblemen erzielt UCoS deutliche rechnerische Beschleunigungen undverbesserte Ergebnisse in Szenarien mit wenigen Parametern. Bei hochdimensionalenBildschärfungsproblemen erzeugt UCoS realistischere Rekonstruktionen als konkurrie-rende Methoden und benötigt dabei weniger Rechenaufwand. In DOT-Experimenten mitexperimentellen und simulierten Daten zeigen die vorgeschlagenen Methoden überzeu-gende Ergebnisse, wobei regularisierte Varianten die Rekonstruktionsqualität und die Un-sicherheitserfassung in anspruchsvollen Szenarien leicht verbessern.Insgesamt verdeutlichen die Ergebnisse das Potenzial score-basierter Diffusionsmodellefür skalierbare bayessche Inferenz und zeigen, wie gelernte generative Modelle mit derklassischen Struktur inverser Probleme kombiniert werden können. Die Dissertation legtzudem nahe, dass hybride und aufgabenspezifische Ansätze vielversprechende Richtun-gen zur Verbesserung sowohl der rechnerischen Effizienz als auch der Rekonstruktions-qualität in großskaligen wissenschaftlichen Bildgebungsproblemen darstellen.
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