Globale Lösbarkeit der Energie-Transport-Gleichungen für Halbleiter

Abstract

In dieser Arbeit wird eine Klasse von Energie-Transport-Gleichungen mit gemischten Dirichlet-Neumann-Randbedingungen untersucht. Sie findet Anwendung in der Simulation von Halbleiterbauteilen. In mehreren Schritten wird gezeigt, dass eine schwache, positive Lösung des nichtlinearen, gekoppelten, parabolischen Systems existiert. Aufgebaut wird der Beweis zunächst mittels einer Semidiskretisierung in der Zeit und einer Variablen-Transformation, damit die Gleichung auf semilineare und elliptische Struktur gebracht wird. Mit einem Fixpunktargument wendet man die Lösungstheorie aus den linearen, elliptischen partiellen Differentialgleichungen an. Ein Stampacchia-Approximationsterm in Verbindung mit einer passenden Abschneide-Testfunktion liefert die Positivität. Eine nichtlogarithmische Entropieungleichung liefert Grenzen für die semidiskrete, schwache Lösung und ermöglicht den Schluss auf die Existenz einer schwachen Lösung des kontinuierlichen Systems. Anschließend wird das Langzeitverhalten dieser Lösung gegenüber konstanten Dirichlet- Randdaten untersucht und Konvergenz gezeigt. Der Beweis dazu baut wieder auf der davor gezeigten Entropieabschätzung auf.

This thesis analyses a class of energy-transport equations under mixed Dirichlet- Neumann boundary conditions. The equations are applied in the simulation of semiconductor devices. In multiple steps the existence of a weak, positive solution of the nonlinear, coupled, parabolic system is shown. The proof starts with a time semi-discretization and a variable transformation to achieve semilinear and elliptic structure. Using a fixed-point argument, existence results for linear, elliptic partial differential equations are deployed. A Stampacchia truncation coupled with a suitable cut-off test function yields the positivity. A nonlogarithmic entropy inequality provides limits for the semi-discrete, weak solution and allows to conclude the existence of a weak solution to the continous system. Subsequently the long-time behaviour for constant Dirichlet boundary conditions is studied and convergence to the steady state is shown, using the entropy inequality again.