Dreidimensionale Finite Elemente Simulation von Verdrahtungsstrukturen auf integrierten Schaltungen

Abstract

Durch die fortschreitende Miniaturisierung integrierter Schaltkreise wird der Einfluss der Verbindungsstrukturen auf das Schaltungsverhalten immer gravierender. Je höher die Schaltgeschwindigkeit der Transistoren wird und je dünner die Verbindungsleitungen werden, umso mehr treten ihre parasitären Eigenschaften in den Vordergrund und werden zu einem begrenzenden Faktor für weitere Geschwindigkeitssteigerungen dieser Schaltungen. Mit Taktfrequenzen im GHz-Bereich verhalten sich integrierte Schaltkreise immer mehr wie Mikrowellenschaltungen. Hauptsächlich ihr elektrischer Widerstand und Kapazitäten verursachen störende Eigenschaften wie Signalverzögerungen, Dämpfung, Übersprechen, und Erwärmung. Bis zu einem gewissen Grad lassen sich Verbesserungen durch die Verwendung alternativer Materialien erzielen. So wird z.B. Kupfer anstatt Aluminium verwendet, um die Leitfähigkeit zu erhöhen und es wird mit verschiedenen anorganischen und organischen Dielektrika experimentiert, die eine geringere Dielektrizitätszahl als SiO2 aufweisen. Ganz vermeiden lassen werden sich diese parasitären Materialeffekte allerdings nicht. Deshalb ist es unumgänglich durch geeignete Entwurfmaßnahmen diese Effekte zu berücksichtigen, um Fehlfunktionen zu verhindern. Dabei stellt die Computersimulation ein ganz wesentliches Hilfsmittel dar. Je genauer die Simulationen durchgeführt werden, desto näher kann man an die physikalischen Grenzen gehen, um die Leistungsfähigkeit einer integrierten Schaltung weiter zu steigern. Im Rahmen dieser Arbeit wurden nun Simulationswerkzeuge entwickelt, um parasitäre Effekte wie Leitungswiderstände und Kapazitäten, transientes Signalverhalten und thermische Reaktionen mit hoher Genauigkeit und trotzdem mit bestmöglicher Effizienz (im Hinblick auf CPU-Zeit und Speicherbedarf) zu berechnen. Gegenüber anderen (kommerziellen) Programmpaketen hat der in dieser Arbeit vorgestellte Simulator den Vorteil, die Berechnungen mit anisotropen Dielektrika sowie gekoppelten elektro-thermischen Simulationen mit temperaturabhängigen Materialeigenschaften durchführen zu können. Als numerisches Verfahren wird die Finite Elemente Methode verwendet. Ihr wurde aufgrund der Anwendbarkeit auf alle hier vorkommenden Differentialgleichungstypen sowie ihrer großen numerischen Robustheit der Vorzug gegenübe randeren Verfahren gegeben. Bei der zeitlichen Diskretisierung sind sowohl das Rückwärts-Euler-Verfahren als auch die Trapezmethode (Crank-Nicolson) implementiert. Für die örtliche Diskretisierung der Differentialgleichungen wird das Galerkin-Verfahren angewendet. Dabei erhält man eine lineares Gleichungssystem sehr hoher Ordnung, das in einem komprimiertem Format abgespeichert wird, um eine effiziente Nutzung des Rechnerhauptspeichers zu gewährleisten. Dieses Gleichungssystem wird mit einem vorkonditionierendem Conjugate-Gradient-Solver (ICCG) gelöst. Da die vorkommenden partiellen Differentialgleichungen schwache Nichtlinearitäten aufweisen, wird eine einfache Relaxationstechnik angewendet, um die Lösung zu ermitteln.Für eine genaue Simulation ist es unerlässlich, das Simulationsgebiet geometrisch möglichst exakt zu modellieren. Dazu werden die einzelnen geometrischen Teilstücke als polygonal begrenzte Körper dargestellt (Boundary Representation). Außerdem ist Konsistenz im Sinne von Punkt-, Linien- und Flächenkonformität, sowie Überlappungsfreiheit gefordert. Da aufgrund dieser Konsistenzforderungen eine händische Geometrieerstellung unmöglich erscheint, wird ein Präprozessor entwickelt, der einen schichtweisen Geometrieaufbau nach dem solid modeling-Prinzip ermöglicht und automatisch für Konsistenz sorgt. Die Genauigkeit der Lösung steht und fällt mit der Qualität des Simulationsgitters. Der schichtweise Geometrieaufbau lässt sich für eine besonders einfache und robuste Gittererzeugungsmethode nutzen. Vor- und Nachteile werden anhand eines Vergleiches mit anderen Gitter-methoden diskutiert. Die Simulatoren berechnen nicht nur globale Größen wie etwa Widerstände und Kapazitäten, oft ist man auch an verteilten Größen wie Potenzial, Temperatur oder Stromdichte interessiert. Mit einem dafür entwickelten Visualisierungsprogramm lassen sich diese Attribute auf derOberfläche anzeigen, Isoflächen und Schnittbilder darstellen sowie Feldlinien berechnen. Abschließend soll anhand verschiedener praktischen Anwendungen die Leistungsfähigkeit des Simulators demonstriert werden. Es wird eine elektrothermische Simulation einer Teststruktur mit Al-Leitern durchgeführt und die Ergebnisse werden mit Messwerten verglichen. Das elektrische und thermische Verhalten einer Leitungseinengung, die etwa durch Elektromigration entstehen kann, wird detailliert untersucht. Der Widerstand von Vias in Cu dual damascene Architektur wird berechnet und Verzögerungszeiten und Übersprechen in einem Poly-Silizium Widerstandspaar werden mittels transienter Simulation ermittelt.

Down-scaling of integrated circuits to the deep sub-micron regime increases the influence of interconnects on circuit behavior. As devices are getting faster and line widths get smaller parasitic effects of the interconnects become the limiting factor for further improvements incircuit speed. With clock frequencies in the GHz regime, integrated circuits will behave more and more like microwave circuits. During the design phase care must be taken on various parasitic effects, like attenuation caused by resistive voltage drops, self-heating due to losses, delay times, crosstalk (caused by capacitive or inductive coupling or by the substrate), reflections incurred by discontinuities, skineffect and eddy currents (e.g. in on-chip spiral inductors). While it is important to consider the inductive effects of very long interconnects with low resistance and of course on-chip inductors, the electrical characteristics of local interconnects lines is mainly determined by their resistance and capacitance. With the introduction of new materials (Copper, low-k dielectrics) parasitic effects can be reduced to a certain degree, but not eliminated. Therefore highly accurate models are required especially for designs with reduced safety margins close to the physical limits. In this thesis a set of simulation tools for highly accurate extraction of parasitic capacitances and resistances, simulation of transient electric behavior, and investigation of the thermal characteristics has been developed. Special attention has been directed to an efficient implementation considering both runtime and memory consumption. Compared to other (commercial) tools the simulator presented in this work has the ability to perform calculations with anisotropic dielectric materials and coupled electro-thermal simulations with temperature-dependent material properties. The finite element method (FEM) is used for the numeric solution of the partial differential equations. This method has been selected over other methods because of itsnumerical robustness and the applicability to all involved equation types. For the discretization of the time domain both the backward Euler and the trapezoid method (Crank-Nicolson) have been implemented. The spatial discretization is carried out with the Galerkin method. The discretization results in a linear system of equations which is stored in a compressed sparse matrix format for efficient usage of main memory. The equation system is solved with a preconditioned conjugate gradient solver (ICCG). Some of the involved partial differential equations exhibit a slight non-linear behavior. For that reason a simple relaxation technique is used to find the solution. or highly accurate simulations it is essential to model the simulation domain geometrically as exact as possible. Therefor the boundary representation is used, where solids are formed by their polygonal hull. Adjacent solids must not overlap and must have conformal faces, lines, and points. Because of these consistency requirements a manual geometry construction is nearly impossible. For this reason a preprocessor has been developed, which allows a layer-based geometry construction and enforces the required consistency with a solid modeling technique The accuracy and efficiency of a finite element simulation depends strongly on the qualityof the simulation grid. The layered structure of the geometry can be utilized for a simple but robust grid generation method. Pros and cons of this method will be discussed by a comparison with other gridding techniques. The simulators extract not only global parameters like resistances and capacitances, also distributed quantities like potential, temperature, or current density are calculated. To display these three-dimensional scalar and vector fields a visualization program has been developed, which allows for the representation of the quantity on the surface, generation of contour lines and faces, cuts, and the calculation of streamlines. Finally four application examples are presented to demonstrate the capabilities of the simulation tools. An electro-thermal simulation is performed for an Al-line test structure and the results are compared with experimentally measured values. The electrical and thermal behavior of an interconnect line with a notch (e.g. caused by electromigration) is investigated in detail. The resistance of vias in a Cu dual damascene architecture is calculated, and delay times and cross-talk in a matched poly-resistor pair are computed with a transient simulation run.