New model order reduction strategies in earthquake engineering and structural dynamics

Abstract

Die Berechnung der Antwort einer Struktur im Zeitbereich ist ohne Zweifel einer der wichtigsten Herausforderungen im Erdbebeningenieurwesen und in der Strukturmechanik. Um geeignete Modelle zu erzeugen, mit denen das grundsatzliche dynamische Verhalten beschrieben werden kann, ist eine hoch-dimensionale raumliche Diskretisierung durch z.B. nite Elemente oft unerlasslich. Hoch-dimensionale Berechnungen sind kostspielig. Es existiert eine Vielzahl an analytischen und numerischen Methoden zu Losung von linearen und nicht linearen gewohnlichen Dierenzialgleichungen, jedoch sind diese alle mit kostspieligen Matrixoperationen verbunden, die zu langen Rechenzeiten fuhren oder groe Speicherkapazitaten benotigen. Diese Dissertation befasst sich mit Modellreduktionsmethoden linearer und nichtlinearer Systeme um den Rechenaufwand zu minimieren, jedoch dabei die wichtigen Eigenschaften des dynamischen Systems beizubehalten. Die "Proper Orthogonal Dekomposition" (POD) Methode ist in der Lage eine niedrig-dimensionale Darstellung eines hoch-dimensionalen Prozesses zu erzeugen. In dieser Arbeit wird sie als sinnvolle Modellreduktionsmethode im Erdbebeningenieurwesen und in der Strukturmechanik vorgestellt. Einige neue Strategien, die auf das Prinzip dieser Methode aufbauen, werden diskutiert. Die POD Methode wird bei einer erdbebenangeregten linearen und nichtlinearen Struktur angewendet. Nichlinearitaten werden durch Reibungselemente hervorgerufen, die unter den Fundamenten der Struktur angebracht sind. Im linearen Fall wird die POD Methode mit der Methode der Modalen Reduktion verglichen. Hier stellt sie eine sinnvolle Alternative zu dieser klassischen Methode dar. Im nichtlinearen Fall stellt sich heraus, dass die POD Losung eine gute Approximierung zur Losung des gesamten Systems ist. Die POD Methode ist so realisiert, dass "Schnappschusse" (Beobachtungen) gemacht werden, indem zu Beginn der Erdbebenanregung uber eine kurze Zeitspanne numerisch integriert wird, und mit diesem Informationsgehalt die Transformationsmatrix in den reduzierten Raum erstellt wird. Anschlieend wird das System im reduzierten Raum uber die gesamte Zeitspanne des Erdbebens numerisch integriert. Im nichtlinearen Fall ist es essentiell nichtlineares Verhalten im Beobachtungszeitraum zu erfassen um in der Lage zu sein nichlineare Moden zu de nieren. Die neue Modellreduktionsstrategie wird auf ein groeres Anwendungsgebiet als nur fur eine einzige Erdbebenanregung erweitert. Mit der Information eines kleinen Ausschnittes des Antwortverlaufes zu einer Erdbebenanregung wird eine Transformationsmatrix generiert, die nicht nur fur die Transformation des Systems mit dieser Anregung in den reduzierten Raum herangezogen wird, sondern auch zur Reduktion derselben Struktur, angeregt durch andere Erdbebenschriebe. Diese neue Strategie, in dieser Arbeit "universelle" Modellreduktion, wird fur Erdbeben, die nahe dem Epizentrum und weit weg vom Epizentrum gemessen wurden, getestet. Anschlieend wird die "universelle" Modellreduktionsstrategie fur hoch-dimensionale nichtlineare Monte Carlo Simulationen angewendet, die mithilfe expliziter numerischer Integration durchgefuhrt werden. Die Prozedur wird an einer nichtlinearen zweidimensionalen Rahmenstruktur mit einer verhaltissmaigen geringen Anzahl an Freiheitsgraden getestet um einen Vergleich mit der Losung des nichtreduzierten Modells zu ermoglichen. Die vorgestellte Monte Carlo Simulation wird nun an einer vergleichsweise hochdimensionalen nichtlinearen Gebaudestruktur getestet, wo die Vorteile der neuen Strategie voll zur Wirkung kommen. Die Kombination von POD Reduktion und expliziter Integration zeichnet sich nicht nur durch eine betrachtliche Verringerung der Berechnungszeit aus, sondern auch durch die Moglichkeit Multithread Algorithmen zu implementieren, wodurch die Anzahl der Stich-Proben nochmal betrachtlich erhoht werden kann. Die Berechnung des vollen Eigenwertproblems ist fur hoch dimensionale Systeme sehr rechenintensiv. Folglich werden auch analytische Losungsalgorithmen zeitintensiv. Durch die Abspaltung einer geringen Anzahl von niedrigfrequenten Strukturmoden muss nur mehr ein kleiner Teil der Eigenwertanalyse durchgefuhrt werden. In der Strukturmechanik fuhrt diese Modale Reduktion oft zu einer genauen Annaherung des vollen Problems. Diese Methode versagt z.B bei der Berechnung von Stoproblemen, wo Krafte und Spannungen in der Nahe des Kontaktes von der Antwort der hochfrequenten Moden abhangen. Aus diesem Grund wird eine neue Hybrid-Modellreduktionsstrategie vorgeschlagen. Die hochfrequenten Bewegungsformen werden in den Schnappschussen durch Zeitintegration direkt nach dem Kontakt berucksichtigt. Die niedrigfrequenten globalen Moden werden durch wenige niedrigfrequente Strukturmoden realisiert und zur Snapshot-Matrix hinzugefugt. Die Approximation der Hybridmethode ist vielversprechend, wo die klassische Methode der Modalen Reduktion versagt.

The evaluation of the response of a structure in the time domain is without any doubt one of the main tasks in structural dynamics and earthquake engineering. In order to create proper models, which are able to describe the main behavior of the system, a high dimensional spatial discretization by e.g. nite elements is often inevitable. High dimensionality demands computational eort. In the literature a large number of numerical and analytical methods are discussed to solve linear and nonlinear ordinary dierential equations, but they all involve high dimensional matrix operations that either lead to a long calculation time and/or demand a huge amount of computational storage. This dissertation deals with model order reduction (MOR) of linear and nonlinear systems in order to minimize the computational eort while preserving the main properties of the dynamical system. The proper orthogonal decomposition (POD) method provides a low dimensional description of a high dimensional process and is presented in this work as useful model order reduction method in earthquake engineering and structural dynamics. Several new strategies based on the POD method are discussed. The POD method is applied to earthquake excited linear and nonlinear frame structures. Nonlinearities are a result of plastic material behavior and of friction based seismic isolation devices located at the basements of the structure. In the linear case the POD method is compared to the method of modal truncation. It provides a useful alternative to the classical method. In the nonlinear case an accurate approximation of the response is achieved. The POD method is implemented in that way that snapshots (observations) are taken by integrating over a small time period of the beginning of the earthquake excitation and with this information the transformation matrix into the POD subspace is generated. Subsequently, the system is integrated numerically over the whole time period in the reduced space. In the nonlinear case it is important to capture the relevant nonlinear behavior in the snapshot time period in order to be able to describe the nonlinear response. The MOR reduction procedure utilizing the POD is expanded to more than one earthquake excitation. With the information of the response of the structure to a small time segment of one earthquake a transformation matrix is generated, which is not only used to reduce the system with this excitation but also for the reduction process of this structure excited by other earthquakes. The new strategy, which is called "universal" POD MOR strategy in this work, is tested on far-fault and near-fault events. Subsequently, this "universal" MOR method is veri ed on a three-dimensional nonlinear building construction. The nonlinear eect is realized by a bilinear stress-strain curve in axial direction in order to model elastic-plastic material behavior. The method is tested on six representative earthquake events. Not only for the two but also for the three dimensional test object the "universal" MOR strategy provides accurate approximations of the full system if the nonlinear motion forms can be mapped in the snapshot matrix. The "universal " MOR strategy is applied to realize high dimensional nonlinear Monte Carlo Simulations using explicit numeric integration. The procedure is tested on a twodimensional nonlinear frame structure with a moderate number of degrees of freedom in order to compare the results of the reduced with those of the full simulation. The introduced Monte Carlo Simulation strategy is presented on a high dimensional more complex model, where the advantages can be pointed out entirely. The combination of POD reduction and explicit integrators does not only provide a fast calculation procedure but also the possibility to implement a multithreaded algorithm, which allows the calculation of a large number of sample records. The full eigenvalue solution becomes expensive if the number of degrees of freedom is large. Therefore, even the analytic calculation algorithms are time-consuming. A modal truncation with only a small number of lower modes associated with the solution of only a small part of the eigenvalue problem often leads to an eective and accurate approximation of the full problem. This method fails for impact problems, where high frequency motions are responsible for stresses and forces near the impact point of the structure. For this class of problems a new hybrid MOR strategy is presented. The high frequency motions are captured in the snapshots, which are taken directly after the impact time instant. The low frequency motion is captured by the truncation of a few lower modes, which are added into the snapshot matrix. An accurate approximation can be achieved by the application of this method, whereas the method of modal truncation fails completely.