In-Hadron condensates in an analytical Salpeter approach

Abstract

Gebundene Zustände in einer Quantenfeldtheorie können durch die Bethe-Salpeter-Gleichung beschrieben werden. Diese Gleichung war Gegenstand vieler Untersuchungen und in dieser Arbeit wollen wir, auf diesen Studien aufbauend, das Pion analysieren. Dieses ist das leichteste Hadron, bestehend aus einem Quark und einem Antiquark. Wir verbinden unsere Berechnungen im Bethe-Salpeter-Formalismus zu in-Hadron-Kondensaten und untersuchen die Gell-Mann-Oakes-Renner-Relation. Die Idee von in-Hadron-Kondensaten ist, dass Quarks keinen Vakuumerwartungswert überall in der Raumzeit haben, stattdessen ist deren Kondensat innerhalb eines Hadrons räumlich beschränkt. Dieses Konzept könnte ein Problem bezüglich der kosmologischen Konstante lösen. Die kosmologische Konstante beschreibt die Vakuumenergiedichte und ist --- im Rahmen der QCD --- um vierzig Größenordnungen größer als experimentell gemessen. Falls das Quarkkondensat tatsächlich innerhalb eines Hadrons eingeschlossen wäre, würde es nicht zur Berechnung der Vakuumenergiedichte beitragen, sondern zur Massenenergiedichte. Die Bethe-Salpeter-Gleichung folgt aus dem Ansatz, dass gebundene Zustände Pole in Greenfunktionen sind. Diese Pole, bei denen die Energie der Greenfunktion der Ruhemasse eines gebundenen Zustandes entspricht, können direkt als Resonanzen in experimenteller Hochenergiephysik beobachtet werden. Unter gewissen Annahmen, wie instantaner Wechselwirkung und gleichen Quarkmassen für die Quarks, kann man die Bethe-Salpeter-Gleichung zur Salpeter-Gleichung vereinfachen. Die Lösung der Salpeter-Gleichung ist die Salpeter-Amplitude, die das Analogon zur Wellenfunkion in gewöhnlicher Quantenmechanik ist. Da wir das Pion beschreiben wollen, verlangen wir eine bestimmte Transformationseigenschaft unter Parität und Ladungskonjugation. Daraus resultierend verbleiben nur gewisse Komponenten der Salpeter-Amplitude und können daraufhin bestimmt werden. Nachdem die Salpeter-Gleichung in ein Eigenwertproblem umgeschrieben wurde, können diese Komponenten als Eigenvektoren identifiziert werden und der Eigenwert ist die Masse des beschribenen gebundenen Zustandes, also die des Pions. In dieser Arbeit wollen wir in-Hadron-Kondensate in Verbindung mit der Gell-Mann-Oakes-Renner-Relation erforschen. Diese Relation verbindet die Current-Quarkmasse, die in der Lagrangedichte aufscheint, mit der Masse eines gebundenen Zustands und dessen Zerfallskonstante. Streng genommen ist diese Relation im so genannten chiralen Limes gültig, in dem Quarks als masselos angenommen werden. In der Gell-Mann-Oakes-Renner-Relation steckt außerdem der Vakuumerwartungswert der Komponentenquarks. Wir wollen den Fall untersuchen, dass wir stattdessen das in-Hadron-Kondensat verwenden.

Bound states in a quantum field theory can be described by the Bethe-Salpeter equation. This equation has been the subject of many studies and with this work, we want to build on these studies in order to investigate the pion. The later is the lightest hadron composed of a quark and an antiquark. We connect our calculations in the Bethe-Salpeter formalism to in-hadron condensates and examine the Gell-Mann-Oakes-Renner relation. The idea of in-hadron condensates is that quark fields do not have a vacuum expectation value all over spacetime, instead their condensate is spatially confined within a hadron. This concept could solve a problem concerning the cosmological constant, which describes the vacuum energy density and is - within QCD - calculated to be forty orders of magnitude greater than experimentally measured. If the quark condensate were actually constrained to exist within a hadron, then it would not be taken into account for the vacuum energy density, but rather already be included in the matter energy density. The Bethe-Salpeter equation follows from the assumption that bound states are poles in Green's functions. These poles, which are at the energy corresponding to the rest mass of a bound state, can be directly observed as resonances in experimental high energy physics. Under