Konstruktionen rationaler Flächenstücke auf Quadriken und deren geometrische Eigenschaften

Abstract

Im Zuge dieser Arbeit werden verschiedene Verfahren zur Erzeugung von Dreiecks- sowie Tensorprodukt-Flächen auf Quadriken, deren Randkurven Kegelschnittsegmente sind, betrachtet. Dabei werden diese Flächen als rationale Bézier-Flächen dargestellt. Ein jedes Kegelschnittsegment kann als rationale quadratische Bézier-Kurve c(t) dargestellt werden. Eine jede solche Kurve c(t) beschreibt ein Kegelschnittsegment. Zwischen rationalen quadratischen Dreiecks-Bézier- sowie Tensorprodukt-Bézier-Flächen vom Grad (1,2), (2,2), (2,4) und Quadriken ist diese Beziehung im Allgemeinen nicht wahr. Es werden daher verschiedene Bedingungen an die Randkegelschnitte, Kontrollpunkte des Bézier-Netzes und an die Parameterlinien hergeleitet, welche gewährleisten, dass sich die Bézier-Fläche auf einer Quadrik befindet. Das Hauptaugenmerk dieser Arbeit liegt dabei auf der verallgemeinerten stereografischen Projektion, mit welcher die vorher genannten Flächen konstruiert werden. Für biquadratische Bézier-Flächen wird gezeigt, dass die Randkegelschnitte einen Spezialfall des Satzes von Miquel erfüllen müssen. Es wird des Weiteren ein Zusammenhang zwischen quadratischen Dreiecks-Bézier-Flächen und der gewöhnlichen stereografischen Projektion hergeleitet. Zusätzlich werden das Weighted Radial Displacement, sowie andere Verfahren betrachtet.

This thesis deals with different construction methods of triangular and tensor-product patches on quadrics, with conics as boundaries. The patches will be presented as Bézier patches. Every rational quadratic Bézier curve lies on a conic section and vice versa. Unfortunately there is no such relation between quadrics and rational quadratic triangular Bézier- or tensorproduct Bézier patches of degree (1,2), (2,2), (2,4). Therefore we will present conditions for the conic boundaries, controll points and parameter lines to ensure that the patches lie on quadrics. The focus in this thesis lies on the generalized stereographic projection. With help of this map we will construct the previously mentioned patches. For the biquadratic patch we will show that the conic boundaries fulfil a special case of Miquel's theorem. Further we will show the relation between ordinary stereographic projections and triangular patches. Furthermore we discuss the Weighted Radial Displacement and other methods.