Isoperimetric inequalities for the anisotropic and fractional perimeter

Abstract

In dieser Arbeit werden zwei Verallgemeinerungen des Begriffes des Perimeters, nämlich der anisotrope und der fraktionelle Perimeter, vorgestellt und schlussendlich zum Begriff des anisotropen fraktionellen Perimeters verbunden. Zuallererst werden Definitionen und grundlegende Resultate im Zusammenhang mit dem Perimeter, einer Maßzahl für die Oberfläche einer Menge, welche von de Giorgi eingeführt wurde, sowie einige Resultate aus der Konvexgeometrie, wie zum Beispiel der Satz von Minkowski über gemischte Volumina, angegeben. Darauf folgt die Definition des anisotropen Perimeters bezüglich einer beliebigen Norm, in der alle Euklidischen Normen in der Definition des Perimeters durch ebendiese Norm ersetzt werden, sowie der Beweis der Tatsache, dass der anisotrope Perimeter für konvexe Körper mit nichtleerem Inneren mit dem ersten gemischten Volumen übereinstimmt. Die anisotrope isoperimetrische Ungleichung wird nach den Ideen von Maggi bewiesen. Für die Untersuchungen zum fraktionellen Perimeter werden alle Resultate zunächst für fraktionelle Sobolev-Normen gezeigt und erst danach auf den Begriff des fraktionellen Perimeters zurückgeführt. Sie beginnen mit der Berechnung der Grenzwerte für den fraktionellen Exponenten s gegen 1 (nach Bourgain, Brezis und Mironescu) und s gegen 0 (nach Maz'ya und Shaposhnikova). Daraufhin werden die fraktionelle Hardy- und Sobolev-Ungleichung basierend auf einem Beweis von Frank und Seiringer gezeigt. Für die Klassifikation aller Fälle, in denen Gleichheit herrscht, wird die Technik der symmetrisch fallenden Umordnung von Funktionen angewandt. Den Abschluss der Arbeit bilden die Einführung des anisotropen fraktionellen Perimeters und die Analoga der Kovergenzresultate für s gegen 1 und s gegen 0.

The scope of this thesis is to present two generalizations of the notion of perimeter, the anisotropic and the fractional perimeter, and ultimately combine these concepts into the notion of the anisotropic fractional perimeter. First we state the definition and basic results regarding the perimeter, a measurement of the surface area of a set first introduced by de Giorgi, and some results from convex geometry, such as Minkowski's theorem on mixed volumes. Then we define the anisotropic perimeter with respect to an arbitrary norm by replacing all Euclidean norms in the definition of the perimeter with this norm, and prove that it coincides with the first mixed volume for convex bodies with non-empty interior. We utilize ideas by Maggi to prove the anisotropic isoperimetric inequality. For the examination of fractional perimeters we state and prove all results for fractional Sobolev norms first before translating them back to the framework of perimeters. It starts with the calculation of the limits for the fractional exponent s to 1 (due to Bourgain, Brezis ans Mironescu) and s to 0 (due to Maz'ya and Shaposhnikova). Next we establish the fractional Hardy and Sobolev inequality based on a proof by Frank and Seiringer. The technique of symmetric decreasing rearrangement of functions settles the classification of equality cases. Ultimately, we introduce the anisotropic fractional perimeter and prove analogues of the convergence results for s to 1 and s to 0.