Aronszajn-Donoghue Theorie für selbstadjungierte lineare Relationen

Abstract

Die Diplomarbeit befasst sich mit der auf N. Aronszajn und W. Donoghue zurückgehenden Theorie zur Analyse des Spektrums selbstadjungierter Operatoren. Die Methoden werden dahingehend verallgemeinert, als dass sie im Rahmen linearer Relationen anwendbar sind. Als Hauptresultat wird die Aussage präsentiert, dass die selbstadjungierten Erweiterungen einer festen, symmetrischen Relation mit endlichen Defektindizes identes absolut stetiges Spektrum besitzen. Der Spektralsatz kann für selbstadjungierte lineare Relationen formuliert werden. Im Falle einer einfachen Relation S mit Defektindizes (1,1) beinhalten die Q-Funktion einiges an Information über die zugehörige selbstadjungierte Erweiterung von S und es besteht ein enger Zusammenhang zwischen dem Spektralmaß der Erweiterung und dem Maß m aus der Integraldarstellung der Q-Funktion. Eine unitäre Transformation erlaubt es, sich auf den Multiplikationsoperator auf dem Hilbertraum der bezüglich m quadratisch integrierbarer Funktionen zu beschränken. Das absolut stetige Spektrum des Multiplikationsoperators stimmt mit dem kleinsten abgeschlossenen Träger des absolut stetigen Anteils von m überein. Analoges gilt für des singulär stetige und das reine Punktspektrum. Aus dem Verhalten der Q-Funktion in der Nähe der reellen Achse lässt sich mithilfe des Resultats von De la Vallée-Poussin der kleinste abgeschlossene Träger des absolut stetigen Anteils von m bestimmen. Die Tatsache, dass zwei unterschiedliche Q-Funktion durch eine rationale Transformation ineinander übergeführt werden können, erlaubt es, das absolut stetige Spektrum verschiedener selbstadjungierter Erweiterungen von S zu vergleichen. Die Aussage des Hauptresultats ist auch für symmetrisches S mit Defektindizes (n,n) für endliches n gültig.

This thesis discusses N. Aronszajn's and W. Donoghue's theory for the purpose of analyzing the Spectrum of self adjoint Operators. The methods are generalized to the effect that they will be applicable in the framework of linear Relations. As the principal result the statement about different, self adjoint extensions of a fixed symmetric Relation posessing identical absolutely continuous Spectrum, is presented. The Spectral Theorem can be formulated for self adjoint linear Relations. In case of simple Relation S with Defect (1,1) the Q-function contains information about the corresponding self adjoint extension of S; the spectral measure of the extension and the measure m arising from the Q-function's integral representation are closely related. Unitary transformation permits to confine oneself to the multiplication operator on the Hilbert space of quadratic integrable functions with respect to m. The multiplication operator's absolutely continuous Spectrum coincides with the smallest closed Support of the absolutely continuous part of m; the same applies to the singular continuous and the pure point Spectrum. By De la Vallée-Poussin's theorem the Q-functions's behaviour along the axis of real numbers allows conclusions about the smallest closed support of the absolutely continuous part of m. Due to the fact, that different Q-functions are related by rational transformations one can compare the absolutely continuous Spectra of different self adjoint extensions of S. The statement of the main result even holds true for symmetric S with Defect (n,n), where n is finite.