Variance Swaps: Sub- und Super-Hedging von Varianzoptionen

Abstract

In dieser Arbeit werden Bewertungsmodelle und Abschätzungen für Variance Swaps betrachtet. Dabei bezeichnet ein Variance Swap eine Option auf die Varianz eines Basiswertes. In der Einleitung werden bekannte Indizes aus der Praxis wie der Volatilitätsindex VIX des S & P 500 und der Volatilitätsindex VDAX des DAX erläutert, wodurch der Zusammenhang zwischen dem Basiswert und des Volatilitätsindex dargestellt werden kann. Im zweiten Kapitel erfolgt die Berechnung einer replizierenden Strategie für verschiedene Auszahlungen in Bezug auf die Varianz. Im Hauptbestandteil der Arbeit geht es dann um eine modellfreie Berechnung einer unteren und oberen Schranke des Preises für einen Variance Swap. Diese Schranke bestehen lediglich aus einfachen Vanilla Optionen auf dem Basiswert, welche als Marktpreise in die Berechnung einfließen. Im letzten Teil der Arbeit werden noch verschiedene Modellierungsvarianten für die Berechnung des Preises eines Variance Swap vorgestellt. Als Beispiele für eine mögliche Modellierung dienen hierbei das CEV-Modell (Constant Elasticity of Variance), das SABR-Modell (Stochastic Alpha Beta Rho) und das MJD-Modell (Merton Jump Diffusion). Während in den CEV- und SABR-Modell der Preisprozess stetig ist, wird im MJD-Modell eine Sprungkomponente in Form eines Poisson-Prozesses in die Modellierung eingefügt. Für jedes dieser Modelle wurde auch ein numerisches Beispiel zur Veranschaulichung berechnet und im Falle des CEV-Modells mit der modellfreien unteren und oberen Schranke verglichen.

In this thesis models and estimates of variance swaps are considered. Here, a variance swap is an option on the variance of an underlying. In the introduction, known indices as the volatility index VIX of the S & P 500 and the volatility index VDAX of the DAX are explained, and so the connection between the underlying and the volatility index can be displayed. In the second chapter a replicating strategy for various payments in respect of the variance is calculated. In the main part of the work a model-free calculation of a lower and upper bound of the price of a variance swap is estimated. These barriers only consist of simple vanilla options on the underlying, which are defined through market prices. In the last part of the thesis, different modeling options for calculating the price of a variance swap are discussed. Here, the CEV-model (Constant Elasticity of Variance), the SABR-model (Stochastic Alpha Beta Rho) and MJD-model (Merton Jump Diffusion) are presented as examples of different models. In contrast to the continuous cases of CEV and SABR the MJD-model includes a jump component, which is added in form of a Poisson process. For each of these models, a numerical example was calculated and, in the case of the CEV-model, the price was compared with the model-free lower and upper bound.