Binary operations and floating bodies in spherical convexity

Abstract

Diese Abeit enthält Beiträge zur Theorie sphärisch konvexer Körper, das sind abgeschlossene konvexe Teilmengen der n-dimensionalen Sphäre. Einerseits werden projektionskovariante binäre Operationen auf der Menge der sphärisch konvexen Körper untersucht. In der Euklidischen Konvexität führt die Kombination von Minkowski Addition - eine projektionskovariante binäre Operation - und Volumen zur Brunn-Minkowski Theorie. Diese zentrale Theorie liefert einen vereinheitlichenden Rahmen zur Lösung verschiedenster Extremal und Eindeutigkeits Probleme im R n. In der sphärischen Konvexgeometrie ist dagegen kein natürliches Analogon zur Minkowski Addition bekannt. Zusammen mit Franz Schuster, werden alle projektionskovarianten binären Operationen auf der Menge der sphärisch konvexen Körper die in einer fixen offenen Halbsphäre liegen charakterisiert und es wird gezeigen, dass die konvexe Hülle im Wesentlichen die einzige nicht-triviale projektionskovariante binäre Operationen ist, auf paaren von sphärisch konvexen Körpern die in offenen Halbsphäre enthalten sind. Andererseits wird in dieser Arbeit ein sphärisches Analogon zum konvexen Schwimmkörper aus der Euklidischen Konvexität eingeführt und untersucht. Zusammen mit Elisabeth Werner, wird der neue Begriff eines sphärisch konvexen Schwimmkörpers eingeführt und die Volumendifferenz eines sphärisch konvexen Körpers und seines Schwimmkörpers untersucht. Bemerkenswerterweise führt diese Volumendifferenz zu einem gänzlich neuen sphärischen Oberflächenmaß, der Schwimmoberfläche, welches als ein Analogon zur klassischen Affinoberfläche der affinen Differentialgeometrie gesehen werden kann. Wir beginnen eine Untersuchung der Eigenschaften dieser neuen sphärischen Größe.

This thesis contains contributions to the theory of spherical convex bodies, i.e., closed convex sets on the unit n-sphere. On one hand projection covariant binary operations on the set of spherical convex bodies are investigated. In Euclidean convexity Minkowski addition, a projection covariant binary operation, together with the volume gives rise to the Brunn-Minkowski theory. This theory lies at the very core of classical Euclidean convexity and provides a unifying framework for various extremal and uniqueness problems for convex bodies in R n. However, in spherical convexity there is no known natural analogue to Minkowski addition. Together with Franz Schuster, all projection covariant binary operations on the set of spherical convex bodies contained in a fixed open hemisphere are characterized and it is shown, that the convex hull is essentially the only non-trivial projection covariant binary operations between pairs of convex bodies contained in open hemispheres. On the other hand a spherical analogue of the Euclidean convex floating body is introduced and investigated. Together with Elisabeth Werner, a new notion of spherical convex floating bodies is defined and the volume difference of a spherical convex body and its floating body is investigated. Remarkably, this volume difference gives rise to a new spherical area measure, the floating area. This floating area can be seen as a spherical analogue of the classical affine surface area from affine differential geometry. We start an investigation of the properties of this new spherical quantity.