Solitonen in einer Feldtheorie in gekrümmter Raumzeit

Abstract

Mit Hilfe eines Solitonenfeldes lassen sich geladene Teilchen und ihre elektromagnetischen Felder gemeinsam durch differentialgeometrische Methoden beschreiben. Die elektrische Ladung tritt als topologische Quantenzahl und die Masse als Feldenergie auf. Auch die allgemeine Relativitätstheorie (ART) ist eine differentialgeometrische Theorie und es besteht die Hoffnung, diese und das Solitonenmodell zu vereinigen. Diese Arbeit soll die Grundlagen schaffen, auf die künftige Anstrengungen zur Erreichung dieses Ziels aufbauen können. In diesem Sinne beschäftigt sie sich mit den Themen (i) Mathematische Grundlagen von Eichfeldtheorien (Tangentialräume auf Mannigfaltigkeiten und damit verbundene Strukturen, Faserbündel und Zusammenhänge, Eichfelder), (ii) Eichfeldtheorie der Gravitation (Die Gravitation als Eichtheorie, Berechnung einer Lorentz-invarianten Lagrangedichte), (iii) Teleparallele Formulierung der ART (Levi-Civitá- und Weitzenböck-Zusammenhang, Krümmung und Torsion, Äquivalenz der Eichfeldtheorie und der ART), (iv) Solitonen im Gravitationsfeld (Angabe einer gemeinsamen Lagrangedichte für Solitonen und Gravitation, Aufstellung der Euler-Lagrange-Gleichungen) und (v) Erweiterung des Solitonenmodells (Vorstellung zweier Ideen zur Erweiterung des Solitonenmodells zur Beschreibung von Gravitation).

By means of a soliton field it is possible to describe both charged particles and their electromagentic fields using differential geometry. The eletric charge emerges as a topological quantum number and mass as field energy. General Relativity (GR) is also a geometric theory and there is hope to unify GR and the soliton model. This thesis is intended to lay the foundations for future work in pursuit of this goal. To this effect it covers the following topics: (i) Mathematical principles of gauge field theories (tangent spaces of manifolds and related structures, fiber bundles and connections, gauge fields), (ii) Gauge field theory of gravitation (gravitation as a gauge theory, derivation of a Lorentz invariant Lagrangian density), (iii) Teleparallel formulation of GR (Levi-Civitá and Weitzenböck connections, curvature and torsion, equivalence of the gauge theory and GR), (iv) Solitons in a gravitational field (statement of a joint Lagrangian density for solitons and gravitation, equations of motion) and (v) Extension of the soliton model (presentation of two ideas concerning the extension of the soliton model to include gravitation).