Optimization of natural frequencies for fabrication-aware shape modeling

Abstract

Diese Arbeit befasst sich mit der Synthese von drei-dimensionalen Geometrien, deren natürliches Frequenzspektrum die gewünschte Zielfrequenz enthält und deren Erscheinungsbild dem beabsichtigten Entwurf ähnelt. Wir schlagen drei Methoden zur Parametrisierung von Geometrien vor, welche sinnvolle Freiheitsgrade zur Konstruktion von Musikinstrumenten wie Marimba und Glocken gewähren. Die Formfamilie, auf welcher der Optimierungsalgorithmus arbeitet, basiert auf der Repräsentation eines Körpers als das Volumen zwischen einer Außenfläche und einer inneren Versatzfläche. Die Evaluierung des Frequenzspektrums eines gegebenen Körpers wird mithilfe der Finite-Elemente-Methode vorgenommen. Zu diesem Zweck werden verschiedene Elementtypen erklärt und deren Eignung für die vorliegende Aufgabe analysiert. Zur Herstellung eines optimierten Körpers stellen wir eine Fabrikationsmethode vor, welche es Amateurhandwerkern ermöglicht, mithilfe von Sand- oder Kautschukformen Zinninstrumente herzustellen. Die Effizienz dieser Methode wird an den Beispielen einer simplen Zinnglocke und einer komplexeren Glocke in Form eines Hasen demonstriert. Die Tonhöhe der Glocken stimmt mit der von dem Finite-Elemente-Modell prognostizierten Frequenz mit einer Abweichung von 2,8% bzw. 6% überein. Wir ergänzen diese Resultate mit einer Reihe von rechentechnischen Ergebnissen, welche die Optimierung von Obertonfrequenzverhältnissen sowie den Einflussgrad von Netzauflösung und Geometrieglätte auf die Genauigkeit des Berechnungsmodells erforschen.

Given a target shape and a target frequency, we automatically synthesize shapes that exhibit this frequency as part of their natural spectrum while resembling the target shape as closely as possible. We propose three shape parametrization methods that afford meaningful degrees of freedom in the design of instruments such as marimbas and bells. The design space is based on the representation of a solid as the volume enclosed by an outer surface and an inner offset surface. In order to evaluate the natural frequency spectrum of a solid, we employ finite element modal analysis and evaluate the suitability of different element types. We propose a fabrication method for the production of optimized instruments by an amateur craftsperson using sand or rubber molds. The efficiency of our method is demonstrated by the production of a simple tin bell and a more complicated bell in the shape of a rabbit. We achieve agreement with the predicted pitch frequencies of 2.8% and 6% respectively. These physical results are supplemented by a number of computational results that explore the optimization of harmonic ratios and the influence of mesh resolution and mesh smoothness on the accuracy of the finite element model.