Die Hopfzahl in einer SU(2)-Feldtheorie

Abstract

Geladene Teilchen können im Rahmen des \textit{Modells topologischer Fermionen} als stabile Solitonkonfigurationen eines $SU(2)$-wertigen Feldes $Q(\mathbf{r})$ formuliert werden. Die Bewegungsgleichungen und die Lagrangedichte dieses Modells sind in Kapitel 1 beschrieben. Weit entfernt der Solitonzentren, im sogenannten elektrodynamischen Grenzfall, verschwindet die potentielle Energie und das Feld bevorzugt Werte auf einer $2$-dimensionalen Kugel, $\vec{m}\in\mathcal{S} 2$. Die Bewegungsgleichungen vereinfachen sich dabei. Für solitonische Lösungen mit endlicher Energie, strebt das Feld $\vec{m}(x \mu)$ im Unendlichen gegen einen konstanten Vakuumwert $\vec{m}_\infty$. Derricks-Theorem zeigt dabei, dass in drei- oder mehr Raumdimensionen stationäre lokalisierte Lösungen der Bewegungsgleichungen instabil sind. Es gibt jedoch stabile solitonische Lösung, die sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen. Dies legt nahe, Photonen, die Austauschteilchen der elektromagnetischen Wechselwirkung, mit Hilfe des $\vec{m}$-Feldes zu beschreiben. Der konstante Vakuumwert erlaubt eine Einpunktkompaktifizierung des $\mathbb{R} 3$, der damit homöomorph zu einer $\mathcal{S} 3$ wird. Für eine fixe Zeit $t_0$ beschreibt daher das Feld $\vec{m}$ eine Abbildung $\vec{m}:\mathbb{R} 3\hookrightarrow\mathcal{S} 3\rightarrow\mathcal{S} 2$. Wie Heinz Hopf 1931 gezeigt hat, können solche Abbildungen durch eine topologische Invariante, die Hopf-Zahl, klassifiziert werden. Diese Klassifizierung ist das zentrale Thema dieser Arbeit. In der Hopf-Abbildung $f:\mathcal{S} 3\rightarrow\mathcal{S} 2$ wird jeder Großkreis der $\mathcal{S} 3$, auch Faser genannt, auf genau einen Punkt der $\mathcal{S} 2$ abgebildet. Die Hopf-Faserung ist nicht einfach das Produkt $\mathcal{S} 2\times\mathcal{S} 1$, sondern ein nicht-triviales Hauptfaserbündel mit $\mathcal{S} 1$-Fasern über der Basis $\mathcal{S} 2$. Betrachtet man zwei beliebige, durch stereographische Projektion der $\mathcal{S} 2$, im $\mathbb{R} 3$ liegende Fasern, erkennt man, dass diese miteinander verschlungen sind. Die Verschlingungszahl der Urbilder zweier Punkte ist die oben erwähnte Hopf-Invariante. Die Berechnung der Hopf-Zahl im $\mathbb{R} 3$ erlaubt es, die Feldkonfigurationen des \textit{MTF} mit einer topologische Quantenzahl zu klassifizieren. Die erste direkte Möglichkeit zur Bestimmung des Hopf-Index wurde von Whitehead \cite{Whitehead1947} in Form eines Volumsintegrals von zwei Vektorfeldern gefunden. Für die beiden Vektorfelder gelten dabei analoge Relation wie für das magnetische Feld $\vec{B}$ und das Vektorpotential $\vec{A}$ in der Elektrodynamik. Die Berechnung benutzt die Definiton des Pullback in der Differentialgeometrie, um eine Flächenform der $\mathcal{S} 2$ mit einer Flächenform der $\mathcal{S} 3$ zu verbinden. Damit kann anschließend ein reguläres Vektorpotential $\vec{A}$ im $\mathbb{R} 3$ definiert werden, mit Hilfe dessen man die Hopf-Zahl berechnen kann. Wir stellen eine Möglichkeit zur Verallgemeinerung der Berechnung des Vektorpotentials vor. Mit Hilfe des Poincar\'{e}-Lemmas kann im $\mathbb{R} 3$ zu jeder geschlossenen $2$-Form, in der Sprache der Vektoranalysis $\vec{\nabla}\vec{B}=0$, ein Vektorpotential $\vec{A}$, auch $1$-Form genannt, gefunden werden, sodass die Bedingung $\vec{\nabla}\times\vec{A}=\vec{B}$ erfüllt ist. Da dieses Vektorpotential nicht eindeutig bestimmt ist, können wir eine Beziehung zu Eichtransformationen herstellen. Weiters wurde in \cite{Whitehead1947} die Äquivalenz des $3$-dimensionalen Volumsintegrals und des $1$-dimensionalen Kurvenintegrals über eine beliebige Faser bewiesen. Der Integrand des Kurvenintegrals kann dabei als Drehgeschwindigkeit der Fasern interpretiert werden. Wir haben eine Möglichkeit gefunden die Hopf-Invariante, die gleichbedeutend mit der Verschlingungszahl ist, mit Hilfe eines $1$-dimensionalen Integrals zu berechnen, indem wir die Holonomie, die durch den Paralleltransport von Vektoren entlang geschlossener Kurven im $\mathbb{R} 3$ induziert wird, berücksichtigen. Den solitonischen Lösungen $\vec{m}(\mathbf{r})$ der Bewegungsgleichungen können wir dadurch eine topologische Quantenzahl zuordnen, die es erlaubt, Photonfelder zu klassifizieren.

Charged particles can be described within the \textit{Model for Topological Fermions} as stable solitonic configurations of an $SU(2)$ field $Q(\mathbf{r})$. The lagrangian density and the equations of motion are specified in chapter 1. At large distances from the center of solitons, the electrodynamic limit, the potential energy vanishes and the degrees of freedom of the describing field are restricted to the $2$ sphere, $\vec{m}\in\mathcal{S} 2$. The equations of motion are reduced to a simplified formulation in this case. In order to get solitonic solutions with finite energy, $\vec{m}(x \mu)$ is assumed to tend at infinity to some constant vacuum value $\vec{m}_\infty$. Derrick's theorem shows that in spatial three dimensions or higher no stationary localized solution of the equations of motion is stable. For any stable solution $\vec{m}(x \mu)$ this implies to move with the speed of light. Therefore it seems reasonable to describe photons, the exchange particles of the electromagnetic interaction, by means of the field $\vec{m}$. The constant vacuum value $\vec{m}_\infty$ allows the one point compactification of the real space $\mathbb{R} 3$, and defines a homeomorphism to an $\mathcal{S} 3$. For some fixed time $t_0$, the solution $\vec{m}$ defines a map $\vec{m}:\mathbb{R} 3\hookrightarrow\mathcal{S} 3\rightarrow\mathcal{S} 2$. In 1931 Heinz Hopf showed that such maps are homotopically non-trivial and can be classified by a topological invariant, the Hopf index. This classification is the central subject of this work. The Hopf map $f:\mathcal{S} 3\rightarrow\mathcal{S} 2$ projects each great circle $\mathcal{S} 1$ of $\mathcal{S} 3$, a fiber, onto distinct points of $\mathcal{S} 2$. $\mathcal{S} 3$ is not just the product $\mathcal{S} 2\times\mathcal{S} 1$, it is an example of a non-trivial fiber bundle with $\mathcal{S} 1$ fibers over the base space $\mathcal{S} 2$. Stereographic projection $\mathcal{S} 2\rightarrow\mathbb{R} 3$, shows that any two fibers are linked. The Hopf invariant can be understood as the linking number of the preimages of two points of $\mathcal{S} 2$. The \textit{MTF's} field configurations can be classified by a topological quantum number, the Hopf index in the real space $\mathbb{R} 3$. As shown in \cite{Whitehead1947}, the first direct formula for Hopf invariant was found by Whitehead as a volume integral of two vector fields. They obey the same relations as the magnetic field $\vec{B}$ and the vector potential $\vec{A}$ in electrodynamics. The calculation uses the definition of the pullback in differential geometry to associate an area form on $\mathcal{S} 2$ with an area form on $\mathcal{S} 3$. Thereby a regular vector potential $\vec{A}$ can be defined in $\mathbb{R} 3$ to calculate the Hopf invariant. Using the Poincar\'{e} Lemma we get a generalized calculation of the vector potential $\vec{A}$. In $\mathbb{R} 3$ the Poincar\'{e} Lemma guarantees the existence of a $1$ form, a vector potential $\vec{A}$, for any closed $2$ form, $\vec{\nabla}\vec{B}=0$, satisfying the condition $\vec{\nabla}\times\vec{A}=\vec{B}$. Because the vector potential is not uniquely defined, we can draw a connection to gauge transformations. Moreover the equivalence of the $3$ dimensional volume integral and the $1$ dimensional line integral of an arbitrary fiber was proofed in \cite{Whitehead1947}. The integrand of the line integral can be interpreted as the fiber's rotation speed. We established a $1$ dimensional integral formulation of the Hopf invariant, which is equivalent to the linking number, by including the holonomy, produced by the parallel transport of a vector along a closed curve in $\mathbb{R} 3$. Thus we can assign a topological quantum number to the solitonic solution $\vec{m}(\mathbf{r})$ of the equations of motion, this allows us to classify photon fields.