Denseness of bicausal Monge couplings

Abstract

Sei $(X,Y)$ ein Paar von Zufallsvariablen mit stetiger Verteilung. Es ist bekannt, dass eine Folge von Bijektionen $(F_n)_n$ existiert, sodass $F_n(X)$ wie $Y$ verteilt ist, und die Tupel $(X,F_n(X))$ in Verteilung gegen $(X,Y)$ konvergieren. Das Ziel dieser Arbeit ist es, eine analoge Aussage für stochastische Prozesse mit endlich vielen Zeitschritten zu beweisen. Dazu betrachten wir Prozesse $X=(X_1,\dots,X_N)$ und $Y=(Y_1,\dots,Y_N)$, die im folgenden Sinne kompatibel sind: Für jedes $t$ ist $(Y_1,\dots,Y_t)$ unabhängig von $X$ gegeben $(X_1,\dots,X_t)$, und auch umgekehrt: $(X_1,\dots,X_t)$ ist unabhängig von $Y$ gegeben $(Y_1,\dots,Y_t)$. Eine Abbildung $F$ vom Pfadraum von $X$ in den Pfadraum von $Y$ heißt adaptiert, falls die $t$-te Komponente von $F(x_1,\dots,X_N)$ lediglich von $x_1,\dots,x_t$ abhängt. Eine Abbildung $F$ heißt biadaptiert, falls $F$ bijektiv ist und $F$ und $F^{-1}$ beide adaptiert sind. Das Zeil der Arbeit ist es zu zeigen, dass es (unter gewissen Regularitätsbedingungen) biadaptierte Abbildungen $F_n$ vom Pfadraum von $X$ in den Pfadraum von $Y$ gibt, sodass $F_n(X)$ wie $Y$ verteilt ist und $(X,F_n(X))$ in Verteilung gegen $(X,Y)$ konvergiert. Die gemeinsamen Verteilungen von Prozessen $X$ und $Y$ mit obiger Kompatibilitätseigenschaft sind genau die bikausalen Kopplungen von $X$ und $Y$. Die obige Aussage ist also äquivalent dazu, dass bei festgehaltenen Marginalien die bikausalen Monge-Kopplungen dicht in den bikausalen Kopplungen liegen, und zwar bezüglich schwacher Konvergenz durch Testen gegen stetige beschränkte Funktionen.

Consider a pair $(X,Y)$ of random variables that have both a continuous law. It is well known that there is a sequence of bijections $(F_n)_n$ such that $F_n(X)$ is distributed like $Y$ and the pairs $(X,F_n(X))$ converge to $(X,Y)$ in distribution. The aim of this thesis is to prove an analogous statement for stochastic processes with finitely many time steps. We consider processes $X=(X_1,\dots,X_N)$ and $Y=(Y_1,\dots,Y_N)$, which are compatible in the following sense: For all $t$ the random variable $(Y_1,\dots,Y_t)$ is conditionally independent of $X$ given $(X_1,\dots,X_t)$, and conversely $(X_1,\dots,X_t)$ is independent of $Y$ given $(Y_1,\dots,Y_t)$, as well.A mapping $F$ from the path space of $X$ to the path space of $Y$ is called adapted if the $t$-th component of $F(x_1,\dots,x_N)$ only depends on $x_1,\dots, x_t$. A bijection $F$ is called biadapted if both $F$ and $F^{-1}$ are adapted.The aim of this thesis is to show that (under suitable regularity assumptions) there are biadapted mappings $F_n$ from the path sapce of $X$ to the path space of $Y$ s.t. $F_n(X)$ is distributed like $Y$ and $(X,F_n(X))$ converges to $(X,Y)$ in distribution.The joint distribution of processes $X$ and $Y$ that satisfy the compatibility assumption mentioned above are exactly the bicausal couplings. Therefore, the claim is equivalent to the fact that bicausal Monge couplings are dense in the set of bicausal couplings with fixed marginals w.r.t. weak convergence of probability measures, i.e. testing against continuous bounded functions.