dc.description.abstract
Viele heterogene Materialien weisen Mikrostrukturen auf, die über mehrere Größenordnungenhierarchisch organisiert sind. Es ist von grundlegendem wissenschaftlichem Interesse in der Ingenieurmechanik, quantitative Zusammenhänge zwischen mikrostrukturellen Eigenschaften und dem makroskopischen Verhalten solcher Verbundwerkstoffe herzustellen. Diesem Interesse widmet sich der theoretische Teil der vorliegenden Arbeit. Er ist methodisch in der Kontinuumsmikromechanik verwurzelt und innovativen Zugängen zur „Spannungsmittelungsregel“und den „Verzerrungs-Konzentrationstensoren“ gewidmet. Letztere machen Skalenübergänge möglich, z.B. ermöglichen sie (i) das Herunterskalieren von Makroverzerrungen, die repräsentativen Volumenelementen von mikroheterogenen Materialien eingeprägt werden, zu den Verzerrungen der mikrostrukturellen Bestandteile, sowie (ii) das Hochskalieren der elastischen Steifigkeiten und der Eigenspannungen der mikrostrukturellen Bestandteile auf ihre makroskopischen Gegenstücke.Zementgebundene Materialien stellen eine besondere Herausforderung für die Mehrskalenmodellierung dar. Aufgrund der chemischen Reaktion zwischen dem Wasser und dem Bindemittel weisen sie im frühen Materialalter sich entwickelnde Mikrostrukturen auf. Die schlussendlich geformten Mikrostrukturen bestehen aus Festkörperbestandteilen und Poren mit charakteristischen Größen, die sich über vier Größenordnungen erstrecken: von einigen Duzend Mikrometern bis zu einigen wenigen Nanometern. Viele makroskopische Eigenschaftenzementgebundener Materialien resultieren aus physikalisch-chemischen Prozessen, die auf der Nanoskala ablaufen. Diesen Aspekten widmet sich der Anwendungsteil der vorliegenden Arbeit.Er bezieht sich auf zwei herausfordernde Themen der Mehrskalenmodellierung von Zementsteinen:die Entwicklung der Volumenanteile der mikrostrukturellen Bestandteile im frühen Material alter und sorptionsinduzierte makroskopische Volumenänderungen im ausgehärteten Zustand.Die vorliegende Arbeit stellt eine Synthese zwischen grundlegenden Entwicklungen und anspruchsvollen Anwendungen auf dem Gebiet der Mehrskalenmechanik dar. Nach einer allgemeinen Einführung widmen sich drei Kernkapitel den theoretischen Arbeiten. Die verbleibenden zwei Hauptkapitel sind den praktischen Anwendungen gewidmet, gefolgt von allgemeinen Schlussfolgerungen.Kapitel 2 widmet sich der Überarbeitung des Fundaments für eine der zentralen Säulen der Kontinuumsmikromechanik: der Herleitung der Spannungs- und Verzerrungs-Mittelungsregeln.Traditionell werden diese Regeln aus Gleichgewichts- und Kompatibilitätsbedingungen abgeleitet,zusammen mit Randbedingungen in den mikrosopischen Verschiebungen und den mikroskopischen Spannungen, die mit homogenen makroskopischen Verzerrungen bzw. homogenenmakroskopischen Spannungen verbunden sind. An der Oberfläche von Körpern können jedoch streng genommen nur Verschiebungen oder Spannungen vorgeschrieben werden, so dass sich die verbleibende Mittelungsregel als bloße Definition herausstellt. Die vorliegende Arbeit schlägt einen Weg vor, auf eine solche Definition zu verzichten, und greift dabei auf das Prinzip der virtuellen Leistungen als Konzept zur Gewährleistung des mechanischen Gleichgewichts zurück.Die Verzerrungs-Mittelungsregel wird traditionell hergeleitet: ausgehend von homogenen Verzerrungsrandbedingungen. Dann werden beliebige, differenzierbare, so genannte virtuelle Mikrogeschwindigkeiten an der Berandung eines repräsentativen Volumenelements vorgegeben,die mit beliebigen homogenen virtuellen Makrogeschwindigkeiten und Makroverzerrungsraten verknüpft sind. Letztere sind multilinear mit den mikroskopischen virtuellen Verzerrungsratenfeldern innerhalb des repräsentativen Volumenelements verknüpft. In diesem Setting führtdie Äquivalenz der makroskopischen und der mikroskopischen Ausdrücke für die virtuellen Leistungsdichten auf die bekannte Spannungsmittelungsregel und im Falle mikroskopisch gleichförmiger Volumenkraftfelder auf eine Volumenkraftmittelungsregel.Kapitel 3 bezieht sich auf die Homogenisierung von repräsentativen Volumenelementen komplexer Materialmikrostrukturen, die nicht zufriedenstellend durch endliche Anzahl homogener Teilbereiche dargestellt werden können. Der Beitrag der vorliegenden Arbeit ergänzt bestehende Methoden, die von den Randbedingungen des repräsentativen Volumenelementsabhängen und keinen direkten Zugang zu den Makro-Mikro-Beziehungen im Sinne von Konzentrationstensoren bieten. Als Abhilfe wird ein Homogenisierungsverfahren vorgestellt, dasauf Greenschen Funktionen fußt. Beim neuen Verfahren werden aus Hilfsproblemen gewonnene mikroskopische Verzerrungen kraft Mittelungsregel über das repräsentative Volumselement den makroskopischen Verzerrungen zugeordnet. Dabei wird das Hilfsproblem auf einer homogenen unendlichen Matrix definiert. Letztere ist homogenen Hilfsdehnungen und inhomogenen Polarisationsspannungen unterworfen, wobei die Polarisationsspannungen die Fluktuationen des mikroskopischen Steifigkeitsfeldes der komplexen Mikrostruktur innerhalb des repräsentativen Volumenelements abbilden. Die entsprechenden mikroskopischen Dehnungen ergeben sich als Lösung einer Fredholm-Integralgleichung. Sie liefert einen multilinearen Operator,der die homogenen Hilfsdehnungen mit den mikroskopischen Dehnungen verknüpft. Dieser Operator und die zuvor genannte Verknüpfung erlauben schließlich die Vervollständigung desModells in Bezug auf den Konzentrationstensor und die Quantifizierung der homogenisierten Steifigkeit. Beispielhaft wird eine Mikrostruktur mit harmonisch fluktuierender Steifigkeit homogenisiert. Mit Hilfe der Lösung der Poisson-Gleichung werden die entsprechenden singulären Faltungsintegrale ausgewertet. Diese Auswertungsstrategie wird abschließend durch eine Cauchy-Hauptwertanalyse verifiziert.Kapitel 4 bezieht sich auf die Mikromechanik von Verbundwerkstoffen mit mehreren Phasen unterschiedlicher Form, die in eine Matrixphase eingebettet sind. Das populäre Mori-Tanaka-Schema liefert bei Homogenisierung solcher Materialien unsymmetrische homogenisierte Steifigkeitstensoren. Letztere müssen explizit symmetrisiert werden. In der vorliegenden Dissertation werden die Auswirkungen solcher Symmetrisierungstechniken auf die Konzentrationstensoren untersucht, d.h. Auswirkungen auf die Beziehungen zwischen makroskopischen Verzerrungen, die einem repräsentatives Volumenelement eines mikroheterogenen Materials eingeprägt werden, und den mikroskopischen Phasenverzerrungen, die sich innerhalb der Materialmikrostruktur einstellen. Dabei wird die wichtige Idee von Mori und Tanaka übernommen,die Phasenverzerrungen durch die homogenen Dehnungen innerhalb Eshelbischer Inhomogenitätenzu approximieren, die jeweils in eine unendliche Matrix eingebettet sind, wobei die Phasenverzerrungen die Verzerrungsmittelungsregel erfüllen. Der vorgeschlagene Ansatz sieht jedoch davon ab, die Verzerrung in der Matrixphase als jene Hilfsverzerrung zu identifizieren,die im Unendlichen der Matrix der Eshelbischen Matrix-Inhomogenitätsprobleme auferlegt ist.Stattdessen wird ein Umwandlungstensor eingeführt, um einen multilinearen Zusammenhang zwischen den Hilfsdehnungen und den makroskopischen Verzerrungen, die einem repräsentativen Volumenelement eines mikroheterogenen Materials eingeprägt sind, herzustellen. Die homogenisierte Steifigkeit wird ausgedrückt als (i) eine Funktion des Umwandlungstensors,der die oben erwähnte multilineare Beziehung quantifiziert, und (ii) als die symmetrisierte Mori-Tanaka-Abschätzung. Auf diese Weise können der Umwandlungstensor und alle Phasenkonzentrationstensoren so bestimmt werden, dass die elastische Gesamtsteifigkeit symmetrisch bleibt.Kapitel 5 widmet sich der hydratationsgetriebenen Entwicklung der Volumenanteile der mikrostrukturellen Bestandteile von Portlandzementsteinen im frühen Materialalter. Die Studie basiert auf Ergebnissen von Protonen-Kernmagnetresonanz-Relaxometrie (1H NMR)-Tests aus der Literatur. Diese Daten bieten quantitativen Einblick in die Entwicklung der Wasserstoffmengen, die in Kalziumhydroxid, in Kalzium-Silikat-Hydraten, sowie in Kapillarund Gelwasser gebunden sind. Dieser Einblick motiviert einen Paradigmenwechsel hinsichtlichder Variable, mittels der die Entwicklung von Phasenvolumenanteilen im frühen Materialalter beschrieben wird. Einschlägige Entwicklungsansätze basieren auf dem Hydratationsgrad. Letzterer entspricht dem Prozentsatz an Zementklinker, der sich in Wasser aufgelöst hat. In der vorliegenden Arbeit wird der Ausfallgrad eingeführt. Er ist gleich dem Anteil des in Festkörperbestandteilen gebundenen Wasserstoffs dividiert durch die Gesamtmenge an Wasserstoff im Material. Mischungs-, lagerungs- und temperaturinvariante Ausfallcharakteristiken finden sich bei der Darstellung der 1H NMR-Signalanteile als Funktion des Ausfallgrades. Letzterer erscheint als die Zementsteinentwicklung quantifizierendes Argument in Funktionen für die Volumsfraktionen seiner Bestandteile. Diese Funktionen hängen auch von der Ausgangszusammensetzung (anfängliches Wasser-zu-Zement-Massenverhältnis), den Lagerbedingungen (entweder versiegelte Aushärtung oder Unterwasserlagerung) und der Aushärtungstemperatur ab.Kapitel 6 widmet sich der Modellierung des befeuchtungsinduzierten makroskopischen Schwellens von ausgehärtetem Zementstein mittels eines mehrskaligen poromechanischen Ansatzes unter Berücksichtigung von Eigendehnungen. Zementstein wird durch Matrix-Inklusions-Komposite auf vier verschiedenen Maßstäben dargestellt. Diese Komposite bestehen aus übriggebliebenem Zementklinker, Kalziumhydroxid, Kapillarporen, Gelporen und Kalzium-Silikat-Hydraten. Zugehörige experimentelle Daten umfassen Adsorptionsisotherme und makroskopische Schwellmessungen aus der Literatur. Im Rahmen der Modellierung wird angenommen,dass die Radien der kugelförmigen Gel- und Kapillarporenpopulationen durch Exponentialverteilungen beschrieben werden können. Letztere werden mittels Adsorptionsporosimetrie identifiziert. Dies ist die Grundlage für eine poromechanische Analyse. Die durch Befeuchtung induzierte Änderungen des effektiven Porendrucks von Gel- und Kapillarporen werden quantifiziert und auf die Makroskala von Zementstein hochskaliert. Dies erklärt die gemessene makroskopische Schwellung nur teilweise. Daher wird der Modellierungsansatz durch die Einbeziehung eines weiteren nanoskopischen Prozesses bereichert: Adsorptionsinduzierte Quellung von nanoskopischen Kalzium-Silikat-Hydraten, modelliert in Form von Eigenspannungen die sich als Funktion der relativen Feuchtigkeit entwickeln. Diese Beziehung wird mittels experimenteller Daten identifiziert, die sich auf ausgereiften Zementstein mit einem anfänglichen Wasser-zu-Zement-Massenverhältnis von 0,40 beziehen. Die identifizierte Beziehung wird sodann getestet, in dem sie zur mikromechanischen Vorhersage der makroskopischen Quellung von reifem Zementstein mit einem anfänglichen Wasser-zu-Zement-Massenverhältnis von 0,55 herangezogen wird. Die Ergebnisse sind zufriedenstellend und unterstreichen, dass sorptionsinduziertenanoskopische Volumenänderungen von Kalzium-Silikat-Hydraten signifikant zu entsprechenden makroskopischen Volumenänderungen von reifem Zementstein beitragen.
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dc.description.abstract
Many heterogeneous materials have microstructures which are hierarchically organized across several orders of magnitude. It is of fundamental scientific interest in engineering mechanics to establish quantitative links between microstructural properties and the macroscopic behavior of such materials. This is setting the scene for the theoretical part of the presentthesis. It is methodically rooted in continuum micromechanics and focused on innovative approaches to the “stress average rule” and “strain concentration tensors”. The latter renderscale transitions possible, e.g. they enable (i) downscaling of the macrostrains imposed on representative volume elements of micro heterogeneous materials to the strains experiencedby the microstructural constituents, as well as (ii) upscaling of the elastic stiffness and the eigenstress of the microstructural constituents to their macroscopic counterparts.Cementitious materials are particularly challenging when it comes to multiscale modeling.They exhibit evolving microstructures at early material ages, because of the chemical reaction between the water and the binder. The finally formed microstructures consist of solid constituents and pores with characteristic sizes ranging across four orders of magnitude:from a few tens of micrometers to a few single nanometers. Many macroscopic properties of cementitious materials result from physico-chemical processes occurring at nanometric scales.This is setting the scene for the application part of the present thesis. It is focused on two challenging topics regarding multiscale modeling of cement pastes: the evolution of the volume fractions of the microstructural constituents at early material ages and sorption-induced macroscopic volume changes at mature material ages.The present thesis strives for establishing a synthesis between fundamental developmentsand challenging applications in the field of multiscale mechanics. To this end, the core ofthe thesis is organized in five chapters. Following an overall Introduction, three of the corechapters are devoted to theoretical advances. The remaining two core chapters are devoted tothe practical applications, followed by overall Conclusions.Chapter 2 is dedicated to the revision of the foundations of one of the central pillars of continuum micromechanics: the derivation of the stress and strain average rules. Traditionally, these rules are derived from equilibrium and compatibility conditions, together with microdisplacement and microtraction boundary conditions associated with homogeneous macrostrains and macrostresses, respectively. However, only displacements or tractions canbe prescribed at the boundary of bodies, such that the remaining average rule turns out as amere definition. The present thesis suggests a way to do without such a definition, resorting to the principle of virtual power as a vehicle to guarantee mechanical equilibrium. The strainaverage rule is traditionally derived from homogeneous strain boundary conditions. Then,arbitrary differentiable, so-called virtual microvelocities are prescribed at the boundary ofa representative volume element. They are linked to corresponding homogeneous virtual macrovelocities and macrostrain rates. The latter are related multilinearly to the microscopic virtual strain rate fields inside the representative volume element. Under this setting, the equivalence of the macroscopic and the microscopic expressions for the virtual power densities yields the well-known stress average rule and, in case of microscopically uniform force fields, avolume force average rule.Chapter 3 refers to homogenization over a representative volume element of complex material microstructures which cannot be satisfactorily represented by an assemblage of homogeneous subdomains called phases. The contribution of the present thesis complements existing methods which depend on the boundary conditions applied to the representative volume element, and which do not provide direct access to the macro-micro-relations in terms of concentration tensors. As a remedy, a Green’s function-based homogenization method for complex microstructures is introduced. The new method rests on mapping, through the strain average rule, the microscopic strain fields associated with an auxiliary problem to the macroscopic strains subjected to the representative volume element. There by, the auxiliary problem is defined on a homogeneous infinite matrix subjected to homogeneous auxiliary strains and to in homogeneous polarization stresses representing the fluctuations of the microscopic stiffness field of the complex microstructure within the representative volume element. The corresponding microscopic strains appear as the solution of a Fredholm integral equation. It delivers a multilinear operator linking the homogeneous auxiliary strains to the microscopic strains. This operator, together with the aforementioned mapping, eventuallyallows for completing the model in terms of concentration tensor and homogenized stiffness quantification. As for illustration, a microstructure with harmonically fluctuating stiffnessis exemplarily homogenized. The corresponding singular convolution integrals are evaluatedfrom the solution of the Poisson’s equation. This evaluation strategy is then verified through a Cauchy principal value analysis.Chapter 4 refers to micromechanics of composites with multiple phases of different shapes embedded into a matrix phase. Homogenization of such materials by means the classical Mori-Tanaka scheme yields non-symmetric homogenized stiffness tensor. For energetic reasons,the latter need to be explicitly symmetrized. In the present thesis, the implications of such symmetrization techniques on the concentration tensors are explored, i.e. implications onthe relations between macroscopic strains imposed onto a representative volume element of a microheterogeneous material, and the microscopic phase strains developing across the material microstructure. There by, the important idea of Mori and Tanaka to approximate the phase strains by the homogeneous strains inside an Eshelbian inhomogeneity embedded into an infinite matrix, together with the phase strains fulfilling the strain average rule, is adopted. However, the proposed approach refrains from the identification of the strain in the matrix phase as the auxiliary strain imposed remotely at the infinite matrix of Eshelby’smatrix-inhomogeneity problem. Instead, a conversion tensor is introduced, in order to provide a multilinear relation between the auxiliary strains, on the one hand, and the macroscopic strains imposed onto a representative volume element of a microheterogeneous material, on the other hand. The homogenized stiffness is expressed as (i) a function of the conversion tensor quantifying the aforementioned multilinear relation, and (ii) as the symmetrized Mori-Tanakaestimate. In this way, the conversion tensor and all phase concentrations tensors can be determined in a way which allows the overall elastic stiffness to remain symmetric.Chapter 5 is devoted to the hydration-driven evolution of the volume fractions of microstructural constituents of Portland cement pastes at early material ages. The analysis isbased on results from proton nuclear magnetic resonance relaxometry (1H NMR) tests taken from the literature. These data provide access to the evolution of the amounts of hydrogen incalcium hydroxide, calcium-silicate-hydrates, water in capillary pores, and water in gel pores.The presented developments suggest a change of the variable used for parametrization of formulae describing the early-age evolution of phase volume fractions. Traditional approaches use the hydration degree. The latter is equal to the percentage of cement clinker which has dissolved in water. Herein, the precipitation degree is introduced. It is equal to the fraction of hydrogen bound into solid constituents divided by the total amount of hydrogen in the material. Mix-, storage-, and temperature-invariant precipitation characteristics are found when illustrating the 1H NMR signal fractions as a function of the precipitation degree.This allows for developing a set of formulae describing the early-age evolution of the volumefractions of the constituent of cement pastes, as a function of the initial composition (initial water-to-cement mass ratio), the storage conditions (either sealed curing or underwaterstorage), and the curing temperature.Chapter 6 is devoted to modeling of wetting-induced macroscopic swelling of maturecement paste by means of a multiscale poromechanical approach accounting for eigenstrains.Cement paste is represented by means of four scale-separated matrix-inclusion compositesconsisting of residual cement clinker, calcium hydroxide, capillary pores, gel pores, and calcium silicate hydrates. Experimental data include adsorption iso therms and macroscopicswelling measurements taken from the literature. The radii of spherical gel and capillary porepopulations are assumed to follow exponential distributions. The latter are identified by meansof adsorption porosimetry. This is the basis for a poromechanical analysis. Wetting-inducedchanges of effective pore pressures of gel and capillary pores are quantified and upscaled to the macroscale of cement paste. This explains the measured macroscopic swelling only partially.Thus, the modeling approach is enriched by including an additional nanoscopic process:adsorption-induced swelling of nanoscopic calcium-silicate-hydrates, modeled by means ofa function linking nanoscopic eigenstrains and relative humidity. This function is identified from experimental data referring to mature cement paste with an initial water-to-cementmass ratio amounting to 0.40. The validity of this humidity-eigenstrain function is thentested through prediction of the macroscopic swelling of mature cement paste with an initialwater-to-cement mass ratio amounting to 0.55. The results are satisfactory and underline that sorption-induced nanoscopic volume changes of calcium-silicate-hydrates contribute significantly to corresponding macroscopic volume changes of mature cement paste.
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