Theory of thin-walled rods in application to steel belt drives

Abstract

Die vorliegende Dissertation beschäftigt sich mit der Entwicklung von Methoden zur Beschreibung der dreidimensionalen Bewegung von dünnen Stahltransportbändern, welche eine ”natürliche” Krümmung besitzen, sodass sie im unbelasteten Zustand von der idealen geraden Form abweichen. Die Kirchhoff’sche Balkenthorie ist ein guter Start, um den zeitlichen Verlauf der Verformung der elastischen Struktur im Kontakt mit den rotierenden Trommeln zu simulieren. Die Anwendbarkeit des klassischen Lagrange’schen Finite-Elemente-Ansatzes ist durch die Bewegung der Struktur reduziert, vor allem durch den periodischen Kontakt der materiellen Punkte des Bandes mit den Trommeln. Deshalb muss das gesamte Netz sehr fein sein um die qualitativen Veränderungen der Lösung in den Haft- und Gleitbereichen abzubilden. Ein weiterer Nachteil ist, dass beim Wechsel von Elementen zwischen freien Trum und Kontaktzone numerische Oszillationen auftreten. Einen effektiven Ansatz um diese Probleme zu beseitigen, stellt die gemischte Eulerisch-Lagrange’sche Formulierung dar, in welcher der Balken nicht mehr länger durch eine materielle Koordinate parametrisiert ist, sondern durch eine räumliche. Die materiellen Partikel fließen dann durch die räumlich fixierten finiten Elemente. Somit wird eine lokal begrenzte Netzverfeinerung in der Nähe der Trommeln möglich. Angewandt auf Bandtriebe benötigt das vorgeschlagene Simulationsschema eine Kombination aus Cartesischen und polaren Koordinatensystemen um die verformte Konfiguration des Bandes zu parametrisieren. Die nichtmaterielle kinematische Beschreibung führt dazu, dass jedes Element im Laufe der Zeitintegration in seinem Bereich verbleibt. Die Artikel, aus welchen diese kumulative Dissertation besteht, erweitern schrittweise sowohl das Strukturmodell als auch den Finiten-Elemente-Code, welches schlussendlich für das praktisch relevante Problem der transienten Simulation des lateralen Verlaufs von Bandtrieben verwendet wird.

This thesis is concerned with the development of methods to describe the threedimensionalmotion of thin steel transport belts with natural curvature. Kirchhoff’srod theory is a rather efficient starting point for modelling the time evolution of the deformation of the elastic structure in contact with rotating pulleys. The applicability of the conventional Lagrangian finite element approach is generally reduced owing to the motion of the structure, especially due to the periodical contact of the materialpoints of the belt with the pulleys. Thus, the whole mesh would have to be veryfine to account for the qualitative changes in the solution in the domains of stickingand sliding contact. A further disadvantage is, that when the element nodes enterand leave the contact zones, numerical oscillations of the solution occur. An effective approach to overcome these issues is the mixed Eulerian-Lagrangian formulation (MEL),in which the rod is no longer parametrized with the material arc coordinate, but with aspatial one. The material particles then flow through the spatially fixed finite elements.Therefore, a local mesh refinement near the pulleys is possible. When applied to looped belt drives, the proposed simulation scheme requires a combination of Cartesian and polar coordinate systems to parametrize the deformed configuration of the belt. Thenon-material kinematic description implies, however, that each element resides withina specific coordinate system during the time integration. The papers comprising this cumulative thesis stepwise advance the methodology of both, the structural model aswell as the finite element code, which in the end of the day is used for the practically relevant problem of the transient simulation of the lateral run-off of looped belt drives.